第13讲+拉伸和压缩(三).ppt

第七章 拉伸和压缩 张明 §7.4 拉(压)杆的变形与位移 位移与应变 应变的定义－线(正)应变与角(剪)应变 应力与应变的关系－虎克定律 横向应变－横向变形系数(泊松比) 拉压杆件轴向伸长计算公式 变形与应变 变形体与刚体 变形的定义及特点 构件内任意两点间的位置发生了变化 变形在弹性体内是连续的 变形与刚性位移的区别 对变形的定量描述－应变 两种基本变形－长度变化及角度变化 应变定义：线应变；剪应变(角应变) 应力与应变的关系－虎克定律 拉压杆的应力与应变成正比，比例系数称为弹性模量，用 E 表示 关于弹性模量 弹性模量是材料常数，与受力状态无关，但与温度等环境因素有关 弹性模量的数值通常很大，所以用GPa作为单位，而不用MPa。 1GPa=109Pa =109N/m2 常用材料中，钢材的弹性模量最大，达210GPa。当合金含量不大时，各种合金钢的弹性模量也接近200~210GPa。 横向变形 杆件在发生轴向变形(称纵向变形)的同时，横向也会发生变形。 轴向伸长时，横向会发生收缩变形；轴长缩短时，横向会发生伸长变形。 实验证明：当轴向应变为e时，则横向应变为-ne。其中，n为材料常数，无量纲，其值在0.2~0.5之间。 材料常数n称为泊松比。 几种常用材料的E和n的约值 拉压杆件轴向伸长计算公式 例7.7 图示阶梯状钢直杆，AB段和BC段的横截面面积为AAB=ABC=500mm2，CD段的横截面面积为AAB=ABC=500mm2。已知钢的弹性模量E=200GPa。试求杆的纵向变形DL。 例7.7解 例7.7解 A、B、C、D四个截面的位移如何？ 位移和变形在概念上的区别如何？ 例7.8 (a)图所示铰接杆系由两根钢杆1和2组成。各杆长均为L=2m，直径均为d=25mm。已知变形前a=30°，钢的弹性模量E=210GPa，载荷P=100kN。求A点的位移DA。 例7.8解 先分析节点A的平衡，由对称性知 例7.8解 1杆及2杆的伸长很容易求得 例7.8解 根据小变形原理，角a的变形对A点位移的影响不计。如图有 例7.9 求等截面杆在自重作用下的横截面上的应力和杆的总伸长。设杆长L、横截面面积A、材料的容重g及弹性模量E均为已知。 例7.9解 例7.9解 题7.14 一木柱受力如图，横截面为边长200mm的正方形，材料服从虎克定律，E=10GPa。不计自重，试： 作轴力图； 求横截面上的正应力，并作正应力随截面位置的变化图； 求各处的纵向线应变，并作线应变随截面位置的变化图； 求柱的总变形； 绘出各横截面的纵向位移随截面位置的变化图。 补充 测得拉杆沿轴线方向的线应变为200me，垂直于轴线方向的应变为-58me，施加在拉杆上的载荷P=4.2kN。求材料的弹性模量E和泊松比n，截面面积A=0.0001m2。 解 测得拉杆沿轴线方向的线应变为200me，垂直于轴线方向的应变为-58me，施加在拉杆上的载荷P=4.2kN。求材料的弹性模量E和泊松比n，截面面积A=0.0001m2。 §7.5 拉(压)杆内的应变能 线弹性时轴向拉伸或压缩的应变能 线弹性时单位体积的应变能 线弹性时单位体积的应变能 例7.10 求杆系的应变能和外力所作的功 例7.10解 例7.10解 例7.11 三根圆截面杆，其材料、支承情况、载荷P及长度L均相同，但直径及其变化不同。试比较三杆的应变能。自重不计。 例7.11解 三根圆截面杆，其材料、支承情况、载荷P及长度L均相同，但直径及其变化不同。试比较三杆的应变能。自重不计。 例7.12 重为P的重物从高处自由落下，在与AB杆下端的盘B碰撞后不发生回跳(设为弹性碰撞)。已知自由落距为h，杆长为L，盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。 例7.12解 例7.12解 例7.12解 题7.19 直径d=0.3m，长为6m的木桩，其下端固定。如在桩顶面高1m处有一重量为W=5kN的重锤自由落下，求桩内最大压应力。已知木材的弹性模量E=10GPa。如果重锤骤然放在桩顶上，则桩内最大压应力又为多少？ 由对称性，UAB=UAC，所以 代入数值，得 外力所作的功为 由例7.8，已得DA=1.3mm，代入数值，得 事实上，我们通常由功能原理W=U求载荷作用点沿载荷作用方向上的位移DA 对等截面直杆 对分段等截面直杆 设杆伸长为Dd，则从h高下落到最低点时的势能为 该势能全部转换成(b)图的应变能，应为 动载荷Pd假设为KdP，则由机械能守恒 在线弹性范围时，Dd=Kd Dj ，所以 即 解得 式中Kd称为动荷系数，本书称其为冲击系数 注意书上P106页该公式的错误 垂直下落冲击问题解题步骤 求静变形Dj 求动荷系数Kd 计算动载荷、动应力、动位移或动变形 * 南京航空航天大学 * 南京航空航天大学 江西九