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第8章(多元函数微分学)之内容方法 尽管多元微分学中许多基本概念是从一元微分学的基础上建立起来的，但也产生了许多本质上特殊的东西，不过从二元到三元以上则是自然的推广，因此本章以二元函数为主。 本章主要介绍了二元函数极限，连续及偏导数的概念和计算方法以及多元函数的极值和最值的概念与计算方法。重点是：偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则。难点是：全微分概念与多元复合函数求导法则。 8-1???? 多元函数的极限与连续 二元函数的一般形式为，其几何表示为空间中的一张曲面。 二重极限中的精确定义： 使当时， 有。 注意：二重极限中是在平面上的任意方式趋于，只要在一个方向上不趋于A，则二重极限就不为A。因此如果已知二重极限存在而要求该极限时，可让沿斜率为1的方向，即令 ，求一元函数的极限 。 二重极限的四则运算法则是成立的。 在处连续：。 若在区域D的每一点都连续，则称在区域D连续。不满足连续点的定义的点称为间断点。与一元函数类似，间断点的产生或因为函数在处无定义，或者由于当时无极限，或者极限存在但不等于。另外，其间断点还可能组成一条曲线。 8-2???? 偏导数及其几何意义 偏导数的定义： 从上定义可知，就是一元函数在的导数。 偏导数的几何意义：就是空间曲线 在点处的斜率； 是空间曲线在点处的斜率。 偏导数的计算：求时，将中y看作常数对x求导即得； 求时，将中x看作常数对y求导即得。 高阶偏导数：二阶偏导数有四个（先对求偏导，再对求偏导），若，存在且连续时，=。每个二阶偏导数又有两个三阶偏导数等等，当所考虑的偏导数都连续时，求偏导的结果与偏导的次序无关。 8-3???? 全微分 全微分的定义： 若， 则称在可微。的全微分为 或 。 当在D的每一点均可微时，称在D可微。 可微的判定：（1）用定义（2）充分条件：两偏导连续，则必可微。 全微分的计算： 8-4???? 多元复合函数的求导法 对多元复合函数求偏导数是一个难点，但正确区别自变量，中间变量和函数及自变量，中间变量的个数和复合的层次后根据链导公式也就迎刃而解了。 链导公式：（1）设均可导， 则 ； （2）设则 ; （3）设则 。（此即全导数公式） 8-5???? 多元函数的极值 极值定义：是极大值，若在的某邻域内有 ≤； 是极小值，若在的某邻域内，≤； 此时称为极大值或极小值，称为极大值点或极小值点。 极值必要条件：二元可导函数在取极值的必要条件是：且。 驻点：,。 极值点必是驻点，反之不然，如马鞍面的鞍点。 二元函数极值判定的充分条件： 设在附近有连续二阶偏导数， ，则 （！）当且A =0时，为极大值； （2）当且A =0时，为极小值； （3）当时，非极值； （4）当时，不能判定是否为极值。 多元函数的最值：求极值及边界曲线上的函数值，比较即得。 求解应用问题的最值：建立函数关系式，确定定义域；求出驻点；结合实际问题判定最值。特别注意：若实际问题确有最值，而在定义域内又只有唯一的一个极值点，则这极值点必是最值点。 第8章(多元函数微分学)之例题解析 例8.1验证函数满足方程 证明 因为= 所以 , , 故 。 例8.2计算的全微分。 解： 因为, 所以 。 例8.3设，求,. 解： 令则。令是f对第i个中间变量的偏导 (i=1,2)， 所以 。 例8.4设= ，而z = x2 siny，求,. 解： 本题中，x, y是自变量，z是中间变量，所以 例8.5求函数的极值 解： 先解方程组 求得驻点为（1，0） （1，2） （-3，0） （-3，2）。 再求出二阶偏导数 。 在点（1，0）处，, 又A0，所以函数在（1，0）处有极小值f (1,0)=-5； 在点（1，2）处，所以f (1,2)不是极值； 在点（-3，0）处，所以f (-3,0)不是极值； 在点（-3，2）处，且A0，所以在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31。 例8.6某车间需要用铁皮制造一个体积为2立方米的有盖长方形水箱，问怎样选取它的长、宽、高，才能使所用的材料最省？ 解： 设水箱的长为x米，宽为y米，则其高为米，所用材料的面积为 A = (x 0, y 0) 解 得D: x 0 ， y 0内唯一的驻点为x =。由实际问题知，A在D内必有最小值，因此这最小值必在唯一驻点取得。故当水箱的长为米，宽为米，高为米时，水箱所用的材料最省。