易拉罐形状和尺寸的最优设计模型精选.doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 摘要： 本文通过分析易拉罐取不同形状进行建模，分别建立了圆柱和圆柱与圆台的组合体两种情况 。在这两种情况下，又进行了易拉罐的厚度不计，厚度均匀与厚度不均匀这三种分类。在建模过程中运用了从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题的解法。通过求一阶导和二阶导来求得最小值（即当给定的体积一定时，所用材料的体积最少）。最后再通过题目规定的形状基础上，发挥想象出别的可能使所用材料的体积最少的形状。 关键字：易拉罐 圆柱 圆台 厚度 1 问题重述 市场上（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这应该是某种意义下的最优设计。故就易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题要完成以下的任务： （1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 （2）设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 （3）设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 （4）利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 （5）用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 2问题分析 题中要求使易拉罐形状和尺寸达到最优设计，大致可分三部考虑：首先，将罐体近似看成正圆柱体，来确定它的高与直径之间的关系，并说明其可行性。其次，将罐体近似看成一个正圆台和正圆柱的组合体来分析它的高与底部直径之间的关系，说明其合理性。最后，可考虑罐底的球缺部分，并作出合理的假设（将罐底近似看成正圆台与球缺组成）。经过分析又可将罐设计成由一个正圆柱和半球截去顶部所组成，又为了使罐更美观，我们可以人为的使其接近黄金比例，可通过高与底部直径比来确定，在同时兼备艺术的情况下使罐体达到最优化。 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。 我们用游标卡尺和螺旋测微仪测得的数据分别如下： 易拉罐测量所得数据表 注： 侧面厚度，上底面厚度，下底面厚度用螺旋测微仪测得，相关数据精确到千分位；其他数据用游标卡尺测得，相关数据精确到百分位。单位：mm 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均值 侧面厚度 0.111 0.116 0.117 0.115 0.118 0.115 上底厚度 0.331 0.323 0.324 0.333 0.336 0.329 下底厚度 0.383 0.352 0.386 0.382 0.378 0.378 罐体高度 122.60 122.98 122.30 123.04 121.96 122.58 罐身直径 65.90 65.84 65.80 65.64 65.66 65.77 上底直径 59.22 59.20 59.30 59.28 59.12 59.22 上底圆台高度 11.60 11.80 11.90 11.40 11.20 11.58 下底直径 50.50 50.04 50.10 49.44 49.52 49.92 下底圆台高度 10.54 10.36 10.46 10.36 10.50 10.44 首先把易拉罐近似看成一个圆柱. 要求易拉罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. （1）假设易拉罐的厚度不计；（2）假设易拉罐的厚度要计，且易拉罐的上下底厚为αb,易拉罐的侧面厚度为b; 2 易拉罐近似看成由一个圆柱和圆台组成是有一定合理性的. 要求易拉罐内体积一定时, （1）假设易拉罐的厚度不计；（2）假设易拉罐的厚度要计，且易拉罐的各部分的厚度是不均匀的，即易拉罐的圆台上下底厚为αb,易拉罐的侧面厚度为b; 模型假设与符号说明 （1）假设不同厚度的材料单位重量的价格均相等； （2）针对问题将易拉罐形状理想化、简单化； 问题二将易拉罐近似看成一个圆柱，分两种情况：假设易拉罐的厚度不计；假设易拉罐的厚度要计，且易拉罐的上下底厚为,易拉罐的侧面厚度为； 问题三将易拉罐近似看成由一个圆柱和一个圆台构成，同样分两种情况：假设易拉罐的厚度不计；假设易拉罐的厚度要计，且易