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第 5 章 相似理论和量纲分析 5.1 相 似 理 论 一、力学相似的基本概念 1.几何相似 ——模型与实物几何形状相似。即两系统对应的长度成同一比例，且对应角相等。 长度比尺 面积比尺 体积比尺 长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为导出物理量量纲与基本物理量间的关系。 2.运动相似 ——流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。 速度比尺 时间比尺 加速度比尺 流量比尺 运动粘度比尺 角速度比尺 可见，一切运动学比尺都是长度比尺和速度比尺的函数。速度比尺是基本比尺。 3.动力相似 ——两系统对应位置处各作用力方向相同，大小成同一比例。 密度比尺是基本比尺 密度比尺 质量比尺 力的比尺 　动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相似。所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物理量相似。两系统的其它物理量由它们决定，也必然相似。以密度相似为例说明如下： 　在动力相似的条件下，对应的流体动力系数（压力系数、升力系数和阻力系数）相等。 　无因次的流体动力系数CP数定义如下： 　 　对两动力相似系统： 二、相似准则 特征物理量：如密度ρ、速度v、长度L、粘性系数μ、压力p、加速度g和时间t等。 由（2.4.6 )式（第59页）NS方程可以看出，单位质量的各力可用这些特征物理量的量级表示如下： 　压力　　　　　　　　　粘性力 质量力　　　　　　　　 局部惯性力　　　　　　迁移惯性力 　由动力相似条件得： 　 　直接影响流动的力是惯性力，它力图维持原有的流动状态；其它各力是流体受到的外力，它们力图改变流动状态。流动的变化就是惯性力与其它各力相互作用的结果。因此，将迁移惯性力与其它各力进行比较就可得到四个相似准数。 四个相似准数 雷诺数 　　　　　　　　　　　　　　 傅汝德数 斯特洛哈尔数 欧拉数 　螺旋桨进速系数 　空泡数 对于完全相似的流动现象，必定有： Rem=Rep；Frm=Frp； Stm=Stp； Eum=Eup 。 相似准则既是判断流动相似的标准，又是设计模型的准则。 一般情况下，模型与实际流动选用同一种介质。但要做到完全力学相似是很困难的，实验均采用近似模型法。 三、近似模型法 1.傅汝德模型法 ——用于重力起主要作用，粘性力可忽略的场合。相似准则为Fr，有： 基本比尺为： 速度比尺 Cv 和长度比尺 Cl 。 2.雷诺模型法 ——用于粘性力起主要作用，重力影响很小，可忽略的场合。相似准则为Re，有： 基本比尺为： 速度比尺 Cv ； 长度比尺 Cl ； 密度比尺 C? 。 例5.1　一潜艇长为L＝78m，水面航速为13kn,现用1：50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。 解：实验应按傅汝德准则进行。 已知船模长度　　　　　　　　， 实艇水面航速为： 故实验时船模的拖曳速度为： 5.2 量纲分析 5.2.1 单位和量纲 时间t的单位：秒、分、小时等。 基本单位：时间t、长度L、质量m 和温度T 的单位。 导出单位： 基本单位系统（制）：IS 单位制—m， sec， kg，K。 5.2.1 单位和量纲 5.2.2 量纲分析法 2. ?定理 一、相似定理 相似第二定理（?定理） 若一个物理现象可由 n 个物理量构成的物理方程式描述，在n个物理量中有k个独立的物理量，则该物理现象也可以用这些量组成的（n－k）个无量纲群的关系来描述。 二、量纲分析法的应用 〔例题5.3〕管中流动的沿程水头损失 根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦造成的压力差 △p 与下列因素有关：管径 d、管中平均流速 v、流体密度?、流体动力粘度 ? 、管长 l、管壁粗糙度 ε，试用П定理确定压力降与其它物理量的函数关系。 解：1）△p =f(d,v, ?, ? ,l,ε) 2）各物理量量纲如下 d〔L〕； v 〔LT－1〕； ? 〔ML－3〕； △p〔ML－1T－2〕； ?〔ML－1T－1〕； l〔L〕； ε〔L〕。 3）选d、 v 、 ? 为基本物理量 分析△p 的量纲 △p = f(d，v，?