14第十一章 修匀法概述.ppt

* 为了将S也写成v的矩阵形式，考虑 * * * * 当z为奇数时， 的第一行中前z+1个元素为上述展开式中z+1个系数的相反数，后面为n-z-1个0，其余各行的元素仍用上述的右移法得到。 * 将此M对各个分量 求偏导。涉及到矩阵微商的两个公式： 1. 设x是n×1的变量，a是n×1的常数向量，则 2.设 A是n×n的常数矩阵，则 * 由 * 作业 p.290: 1 , 11 , 12 第11章 修匀法概述 * §11.1 修匀的定义 问题： 由于样本信息不全或估计方法不甚科学，估计结果存在明显的偏差，怎么办？ 是否可以根据所得到的估计值，获取未知参数更好、更可信的估计？ ——修匀 * 例：一枚看似均匀的硬币，估计正面出现的概率t。实验100次，正面出现20次，由此得到t的估计值为0.2。但这与先验概率0.5差别较大，不可信。怎么办？重新抽样不可能，只能利用现有信息，设法获得更可信的估计值。 修匀：若从样本获得的估计值的置信度为30%,先验观点的置信度为70%,则t 的修匀值为 * 修匀的定义 定义：一种利用初始估计，结合先验观点修正初始估计值的数学方法。 在精算实务中的重要应用：编制生命表（生存模型），根据这个模型计算保费值。 * 建模工作的第一项任务：通过试验研究产生一个关于某些特定年龄的死亡率(或概率)序列。这些死亡率是基于某个观察群休的试验而得到的，所以常被称为观察数据。 第二步：修匀。我们着手初始数据的系统修订工作，其目标是产生关于那个未知的，基死亡模型的一个代表。它与已给的初始估计相比要 好一些。应该注意到，经过一次修匀，死亡数据将被改变，这可适当地反映我们模型的这种期望改进。在我们的精算方向中，把修匀看作一种尝试，去得到通用的有效的死亡率的最佳代表。 * 修匀符号 * 修匀的目的 设G为某个修匀过程(修匀算子)，则 修匀误差： 修匀目的：使修匀误差估计误差，即 从而使修匀值更接近于待估参数值。 * §11.2 光滑性检验 本节重点讨论：参数序列的修匀。 死力序列具有某种光滑性：其某阶差分较小，如可选用 作为光滑性度量。 光滑性度量：可以不同，要求符合光滑性先验观点。 光滑性检验是衡量修匀值好坏的标准之一。 * §11.3 拟合检验 定义：关于修匀值 与初始估计值 拟合程度的度量。 表达式： * 拟合的符号测试 符号测试：观察偏差 的符号改变情况。 如果符号交替出现，说明修匀序列与初始估计序列上下交错。且修匀序列与待估参数均值接近。 拟合得好的标准：如果 的符号改变频繁，接近n/2次。 * §11.4 修匀法的分类 第一种：表格数据修匀。 直接对所获取的表格数据进行修匀，如Whittaker修匀。修匀表达式显含初始估计值 ，而不是x，修匀算子是{ } 的函数。 第二种：参数修匀。 假设修匀值是有 某种参数形式的。通过获取参数的“最佳”估计值来获得修匀值。修匀算子是x的函数。 * 作业：p.276 7 第12章 表格数据修匀 * 本章内容：介绍几种常见的表格数据修匀方法 移动加权平均修匀(Moving Weighted Average，1870年)：简称为M-W-A,又称为线性组合公式。 Whittaker修匀(1923)：重视修匀结果的光滑和拟合要求。 Bayesian修匀：类似于数理统计中的Bayesian估计。 特殊Bayesian修匀： Kimeldorf-Jones方法：多维正态先验分布。 Dirichlet修匀：只考虑不同时间区间上的死亡率，而不考虑年龄因素。 * 移动加权平均修匀(Moving Weighted Average，1870年) 基本表达式： 修匀值由2n+1个连续初始估计值确定。 对称M-W-A公式：如果 (12.1.1) 修匀幅度 本书将讨论的公式 * 注记： 一个单个的修匀值(修正估计)是2n十1个连续初始估计的加权平均，指标x-n到x+n。 系数 的下标r是x到与 相乘的初始估计的下标x+r的距离(带正负方向),因此，与 相乘的是 。 我们只考虑对称 M-W-A公式. 由于公式(12.1.1)的中心对称性(从-n到n)．显然有一个“端值问题”。这指的是，如果 分别是具有最低和最高指标的 ，那么根据这个公式得到的具有最低和最高指标值的 却是