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第2章 非线性方程求解 2.1 化工实际问题的提出 2.2 实根的对分法 2.3直接迭代法 2.4迭代加速方法 2.5 牛顿迭代法 2.6 割线法 2.7非线性方程组的牛顿方法 2.8 化工生产中非线性方程组求解应用实例 2.9 Excel 在本章中的应用示例 2.1 化工实际问题的提出 求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必须解决的一个问题。与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复杂的多。对于一般的非线性f(x)=0，计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言。 例如，求解高次方程组7x6-x3+x-1.5=0的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x)=0的零点。解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一般地，我们用符号f(x)来表示方程左端的函数，方程的一般形式表示为f(x)=0，方程的解称为方程的根或函数的零点。 通常，非线性方程的根不止一个，而任何一种方法只能算出一个根。因此，在求解非线性方程时，要给定初始值或求解范围。而对于具体的化工问题，初值和求解范围常常可根据具体的化工知识来决定。 2.1 化工实际问题的提出 常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系式： 这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经常碰到。当我们已知雷诺数Re，如何根据上式求出摩擦系数λ，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。对于上述方程而言，无法用解析方法求出摩擦系数，只能用数值求解的方法。 2.1 化工实际问题的提出 饱和蒸气压是我们经常要用到的数据，虽然可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数据，但通常利用前人已经测量得到的数据或回归的公式来获取，这可以减轻大量的基础实验工作。下式是一种常用的饱和蒸气压计算公式： 其中p为饱和蒸气压，单位为mmHg，T 为温度，单位为K，A、B、C、D为已知系数。要想得到某一温度下的饱和蒸气压，直接利用上式是无法得到的。因为方程两边都有未知变量，并且无法用解析的方法求解，必须用数值计算的方法求解。 How to do with it? 通过上面的一些例子，我们可以发现，如果没有适当的手段和办法来求解非线性方程，那么化学化工中的许多研究、设计等工作将无法展开，这势必影响化学化工的发展，下面我们将介绍一些实用的非线性方程求解方法。 作图法 将所求方程转换成f(x)=0 或f(x,y)=0的形式。作图，函数与相应坐标轴或坐标面的交点即为方程的实根。 2.2对分法求解非线性方程的实根 对分法又称二分法。是求方程近似解的一种简单直观的方法。 使用对分法的条件 设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在[a,b]上至少有一零点，这是连续函数的介值定理，也是使用对分法的前提条件。计算中通过对分区间，逐步缩小区间范围的步骤有哪些信誉好的足球投注网站零点的位置。 如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根，但又不满足f(a)f(b)0，这时，我们必须通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。 2.2对分法求解非线性方程的实根 2.2.2对分法求根原理及算法 计算 f(x)=0 的一般计算步骤如下： 1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε，定义函数 f(x) 。 2、判断: 如果 f(a)f(b)0 则转下，否则， 调整a和b的值重新输入。 3、计算中点 x=(a+b)/2 以及 f(x) 的值 分情况处理 （1）|f(x)|ε：停止计算x*=x，转向步骤4 （2）f(a)f(x)0：修正区间 [a,x]→[a,b]，重复3 （3）f(x)f(b)0：修正区间 [x,b]→[a,b]，重复3 4、输出近似根x*。 右图给出对分法的示意图。 2.2对分法求解非线性方程的实根 2.3一般迭代法求解 原理： 对给定的方程 f(x)=0，将它转换成等价形式： 这里 是连续函数，求f(x) 的零点问题就变为求曲线 与直线 y=x 交点的横坐标，若曲线 与直线 y=x 有交点，则这个交点的横坐标x*就是方程的一个解。 给定初值x0，由此来构造迭代序列 ，k=1,2,…，如果迭代收敛，即 则有 ,就是方程f(x)=0 的根。在计算中当 j 小于给定的精度控制量ε时，取 为方程的根。 2.3一般迭代法求解 2.3一般迭代法求解 迭代收敛要注意的问题： 2.3一般迭代法求解 2.4 迭代的加速 松驰迭代法 2.