通信原理教程第二章.ppt

* 无失真传输条件 设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ， 则其无失真输出信号y(t)为： 式中，k － 衰减常数， td － 延迟时间。 求系统的传输函数： 对上式作傅里叶变换： ∴ 式中， 无失真传输条件： 振幅特性与频率无关； 相位特性是通过原点的直线。 （实际中，?难测量，常用测量td代替。） |H(f)| k 0 f ? f 0 * 2.10.3 随机信号通过线性系统 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有 若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为 输出Y(t)的数学期望E[Y(t)] 由于已假设输入是平稳随机过程，故 ∵ ∴输出的数学期望： E[X(t-?)] = E[X(t)] = k，k = 常数。 * 输出Y(t)的自相关函数 由自相关函数定义，有 由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有 ∴ 由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平稳随机过程。 * 输出Y(t)的功率谱密度PY( f ) ： 由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有 令?? = ? +u - v代入上式，得到 ∴输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度 乘以 |H( f )|2。 * 【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。 解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成： 所以有 输出信号的功率谱密度为 输出信号的自相关函数 输出噪声功率： PY ＝ RY(0) = k2 n0 fH * 输出随机过程Y(t)的概率分布 若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为 若输入随机过程为高斯过程，此时输出也是高斯过程。上面的式子可以表述为下面的求极限， 其中求和的式子 在任何时刻都是一个正态随机变量，因此任何时刻的输出可以看作是无穷多正态随机变量之和，也是正态随机变量。 结论：高斯随机过程通过线性系统后输出仍是高斯随机过程。 * 本章小结 确知信号性质 频域性质：频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度 时域性质：自相关、互相关 随机信号性质 概率分布、概率密度 数字特征：期望、方差、矩 * 主要内容 随机过程 基本概念、高斯过程、窄带过程、平稳过程 各态历经性 自相关函数??功率谱密度 信号通过线性系统 确知信号通过线性系统 时域 y(t)=x(t)*h(t) 频域 Y(f)=X(f)H(f) 平稳随机过程通过线性系统 输出过程均值 输出过程自相关函数 输出过程功率谱 * 思考题 2.2，2.11，2.14，2.15 习题 2.1，2.2，2.15 * * 自相关函数 令t2 – t1 = ?，得到 可见， ?(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔? 有关，所以?(t)是广义平稳过程。 * (2) 求?(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 * 2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 自相关函数的性质 功率频谱密度的性质 复习：确知信号的功率谱密度： 类似地，平稳随机过程的功率谱密度为： 平均功率： * 自相关函数和功率谱密度的关系 由 式中， 令? =t – t’，k =t + t’，则上式可以化简成 于是有 * 上式表明，PX(f )和R(? )是一对傅里叶变换： PX(f )的性质： PX(f ) ? 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。 【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，?是单位时间内振幅的 符号改变的平均次数。 试求其相关函数R(?)和功率谱密度P(f)。 +a -a x(t) ? t t 0 t-? * 解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-?)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式 可以化简为： R(?) = a2 ? [a2出现的概率] + (-a2) ? [(-a2)出现的概率] 式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。 若在 ? 秒内x(t)的符号有偶数次变化