第8章 z变换01华中科技大学.ppt

第8章 Z变换、离散时间系统的Z域分析 求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换 z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展； 70年代引入大学课程； 目前主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。 本章主要内容 Z变换的定义、收敛域、性质* 逆Z变换* 与傅氏变换和拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程* 利用z平面零极点的分布研究系统的特性 8.2.3典型序列的z变换 单位样值函数 单位阶跃序列 斜变序列 指数序列 正弦与余弦序列 8.3 Z变换的收敛域 一、收敛域的定义 二、两种判定法 三、序列x(n)的特性与X(z)的收敛域 (1) n1＜0,n2＞0时，有 (2)n1＜0, n2≤0时，有 显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞外都收敛。 (3)n1≥0, n2＞0时，有 显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0外都收敛。 2) 右边序列 总结 ★ ROC内一般不包含任何极点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ±?）； ★右边序列的ROC为 的圆外； ★左边序列的ROC为 的圆内； ?★双边序列的ROC为 的圆环。 右边序列 极点 零点 * * 8.1 引言 从拉普拉斯变换到Z变换 对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列δT(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为 令T＝1 着重单边适当兼顾双边 单边z变换 双边z变换 连续变量 因果信号 n＝0 8.2 Z 变 换定义、典型序列的Z变换 8.2.1 单边Z变换的定义 对于离散信号x(n)，幂级数 称为x(n)的单边Z变换，记为X(z)=Z［x(n)］。 8.2.2 双边Z变换的定义 对于离散序列x(n)(n=0, ±1, ±2, …)， 函数(z的幂级数) 称为x(n)的双边Z变换，记为X(z)=Z[x(n)］。X(z)又称为x(n)的象函数，x(n)称为X(z)的原函数。为了表示方便，x(n)与X(z)之间的对应关系简记为 推广 等比级数收敛条件 （用间接方法求） 已知 两边同时乘以z-1 ，可得 n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。 推广 1．右边序列 注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 收敛域不同 收敛域：当x(n)为有界时，令上述级数收敛的z 的所有可取值的集合称为收敛域。 注意：不同的x(n) ，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。 1）比值判别法 2) 根值判别法 对于正项级数 由 式很容易知道X(z)的收敛域不仅与|z|有关，还与序列x(n)的特性有关。为说明二者之间的关系根据序列的不同分四种情况讨论。 上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处外都收敛，所以总收敛域为0＜|z|＜∞。有时将这个开域(0,∞)称为“有限z平面”。 1) 有限长序列 的Z变换为 (1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。 因此，n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成 Rx1＜|z|≤∞， 如图所示。 图 右边序列收敛域 圆外为 收敛域 ROC： (2) n1＜0时，Z变换为 右边序列的收敛域可以写成 Rx1＜|z| ＜ ∞， 3．左边序列 收敛半径 圆内为收敛域， 若n20 则不包 括z=0点 在n≤n2的区间内，有非零的有限值的序列 ROC: 4．双边序列 左边序列 圆内收敛 右边序列 圆外收敛 有环状收敛域 没有收敛域 在-∞≤n≤∞的区间内，有非零的有限值的序列 * *