高数8-4,5.ppt

* * 第四节 多元复合函数的求导法则 多元复合函数 求导法则 中间变量为一元函数 中间变量为多元函数 中间变量既有一元函数 又有多元函数 连式法则 第四节 多元复合函数的求导法则 定理1 函数 在对应点 处有连续偏导数, 则复合函数 且 都在点 若函数 处可导, 在点 处可导, 全导数 1.中间变量为一元函数 定理1可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形，例如 设 复合而得复合函数 则 全导数 例1．设 而 求 解： 全导数 设 复合而得复合函数 则 例2. 设 求 解 2. 中间变量是多元函数的情形 设函数 在点 处有偏导数, 函数 在对应点 处有连续偏导数, 则复合函数 在点 处有偏导数, 且 而 类似的, 则 例3.设 求 解 设函数 在点 处有偏导数, 函数 在对应点 处有连续偏导数, 则复合函数 在点 处有偏导数, 且 在点 可导，函数 3. 中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 注意: 应视 为常量, 对 的偏导数； 是对自变量 求偏导, 对中间变量 的偏导数，对 求偏导,视 为常量。 特殊情形: 则 例4 解 例5.设 ,而 , 为可导函数,证明 证: 方程两边同时对 x 求导,得: 方程两边同时对 y 求导,得: 则 例6.设 ,其中 具有二阶导数,求 解: 设 例7.设 具有二阶连续偏导数, 求 解 令 则 引入记号 注: 或 注: 解: 例8.设 的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转化为 极坐标系中的形式: 则 看作是 及 复合而成的函数. 则 同理 同理: 全微分形式的不变性 设 而 则 无论 是自变量还是中间变量,都有 多元复合函数求导法则 连式法则 第五节 隐函数的求导公式 一. 一个方程的情形 1. 确定函数 , 求 例1. 设 , 求 及 所以, 解（1） 对方程 两边同时求对 的导数 对方程 两边同时求对 的导数，得 阅读定理1 所以 解（2） 设 2. 确定二元隐函数 求 阅读定理2 例2. 设 求 解: 例3. 设 证明: 证 故 证毕 求 设 确定了隐函数: 求偏导 对 即 若系数行列式 (雅可比行列式) 二. 方程组的情形 * * * * *