2.1 消元法.ppt

消元法解线性方程组使用的三种变换是： 1、互换两个方程的位置； 2、某个方程的两边同乘以一个非零数； 3、把一方程的若干倍加到另一个方程上。 这三种变换称为线性方程组的初等变换。 把第一个方程分别乘以-2和-3加到第二个方程和第三个方程上，得 从方程组（2）的最后一个方程开始回代，得到原方 程组的解： 这三种变换统称为矩阵的初等行变换。 例1的消元过程用矩阵的初等变化表示为： 方程的回代过程用矩阵表示为： 写出线性方程组的增广矩阵，用矩阵的初等行变换把它化为阶梯形矩阵。 判断原方程组是否有解。若有解将阶梯形矩阵化为行最简形矩阵。 写出行最简形所表示的线性方程组，对它们求解。这种解线性方程组的方法称为高斯消元法。 （1）矩阵 一般线性方程组： 任意给定自由未知量 的一组值，就确 当 时，方程组无解。当 时： * 第一节 线性方程组的消元法 第二节 n维向量 第三节 线性相关与线性无关 第四节 向量的秩 第五节 矩阵的秩 第二章 线性方程组与向量 第一节 线性方程组的消元法 一、消元法 1、线性方程组的初等变换 下面通过例子说明初等变化不改变原方程组的解： 例 解线性方程组 （1） 2、例题 解 将第一、二两个方程互换，方程变为： 把上面得到方程组的第三个方程两边同时乘以2得： （2） 这个过程称为回代过程。 方程组（2）称为阶梯形方程组，把原方程组化为阶梯型方程组的过程称为消元过程。 第二列 第一行 为简化上述计算过程，把方程组中的未知量、加号、等号略去不写，线性方程组(1)就可以用下面的矩形数表来表示： （3） (3)为一个矩阵，为方程组(1)的增广矩阵，也称 3×4矩阵。 2、矩阵的初等变换 矩阵的三种变换： 1、互换矩阵的两行 2、用非零数乘以矩阵的某一行 3、把矩阵的某一行的k倍加到另一行上去 例 解线性方程组 解： 对线性方程组的增广矩阵做初等变换： 最后一个矩阵对应方程组： 若取： 自由未知量 得方程组的解： 称为原线性方程组的一般解。 （ 为任意常数） 3、小结 用矩阵的初等行变换求解线性方程组的步骤是： 二、线性方程组解的结构 1、矩阵和线性方程组 组成的矩形数表： 由m×n个数 （2）矩阵的初等变换 矩阵的下列三种变换： 1、互换矩阵的两行（列）； 2、某一行（列）乘非零数； 3、某一行（列）的若干倍加到另一 行（列）上去。 称为矩阵的初等变换。 称为一个m行n列矩阵，简称m×n矩阵，记为： （3） （3）线性方程组 方程组未知量的系数组成的矩阵： （4） （5） 分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵。 若 方程组（3）称为齐次线性方程组， 否则称为非齐次线性方程组。 通过例1，例2可以发现，线性方程组的增广矩阵 通过初等变换总是可以变为： 它对应于方程： （6） （7） 方程组(3)和(7)是同解方程组，对于方程组(7)： 2、线性方程组解的结构 若 方程组（7）中第r+1个方程是矛盾方程， 若 方程组(7)有解： 方程组(7)无解。 当r=n时，方程组(7)有唯一解：xi=di（i＝1，2，…n） 当rn时，方程组(7)有无穷多组解，方程组(7)等价于： （8） 令 得原方程组的一组解： （9） 定原方程组的一组解。 称为线性方程组(3)的一般解。 对于齐次线性方程组显然也有类似的结论，值得注意 的是，齐次线性方程组总是有解： 当方程组的个数rn，齐次 线性方程组总有非零解。 特别的当r=n时： （10） 性质1 齐次线性方程组(10)有非零解的充要条件是 它的系数行列式等于0： （11） 3、性质 4、例题 为何值时下列方程组有解： 解 对增广矩正做初等行变换： 例 *