第七章 不可压缩流体动力学基础教学课件.ppt

§7.1 流体微团运动的分析 §7.2 有旋流动 §7.3 不可压缩流体连续性微分方程 §7.4 以应力表示的黏性流体运动微分方程式 §7.5 应力和变形速度的关系 §7.6 纳维－斯托克斯方程 §7.7 理想流体运动微分方程及其积分 §7.8 流体流动的初始条件和边界条件 §7.1 流体微团运动的分析 一.流体微团的概念 在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小，可视为只有质量而无体积的“点”，流体微团则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。 二.流体微团运动分析 现以二元流动情形为例进行分析。 假设流体在平面运动。于时刻t，在流场中任意选取一个方形平面流体微团ABCD，轴向边长分别为dx、 dy，设顶点A坐标为（x,y），流速分量为u ,v。 利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点的速度分量， 正四边形微团在经历了时间后将变成斜平行四边形 1) 平移：正四边形流体微团作为一个整体平移到新的位置。由表1可见流体微团上各点均含与A点相同的速度 ，微团将以公有速度 在 时间内平移一个微元距离 。参见图a。 2) 转动：正四边形象刚体一样旋转。参见图b。 3) 角变形：过A点的两条正交流体线之间的角度变化，与此相应的是正四边形形状的变化。参见图c。 4) 线变形：过A点的两条正交流体线伸长或压缩，与此相应的是面积增大或缩小。参见图d。 综上可见，平移运动只改变四边形的位置而不改变其形状、大小和方向。而后三种运动形式会使四边形的形状、大小或方向发生变化。 三 .旋转角速度 将过A点的任意两条正交微元流体线在xy平面运动的旋转角速度的平均值定义为A点流体旋转角速度在垂直该平面方向的分量，用 表示。AB线的旋转角速度为 而 故 同理可得AD线旋转角速度为 所以 推广到三维空间即可得到x和y方向的旋转角速度分量 和 从而得整个流体微团的旋转角速度 为 根据 是否为零，流体力学将流动划分为有旋流动和无旋流动。 如果在流场中的每一点处，流体微团的旋转角速度 均为零，即 则称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动。反之为有旋流动。 四.角变形速率 流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随时间的变化速度称为直角变形速率。 三维空间可得到三个正交方向的角变形速率分量为 五.线变形速度 一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线变形速度。不难证明，流体微团沿三个正交方向的线变 形速度分别为 、 和 。 微团各边长度的变化将导致其体积的变化。可以证明，沿三个 正交方向的线变形速度的代数和（ ）即为流体微团的体积膨胀速率。 对于不可压缩流体 这表明不可压缩流体的其体积膨胀速率等于零。 流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动和变形运动，而变形运动又包括线变形和角变形两种。某点速度可表示为 其中，流体微团的线变形速度为 角变形速度分量为 §7.3 不可压缩流体连续性微分方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。 一、三维流动连续性方程 假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x， y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 ,液体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为 通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为 流出控制体的质量为 于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为 同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为 和 由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。所以 整理得 此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非定常流。 对于定常流：