初中数学竞赛-第一讲因式分解.docx

第一讲：因式分解【知识梳理】把一个多项式化成几个整式积的形式叫做把这个多项式因式分解。常用的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项、添项法、换元法、待定系数法等。因式分解的思路是：（1）先看多项式的各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式。（2）若各项没有公因式，再看能否运用公式法，对于二次三项式看能否利用十字相乘法。（3）用分组分解法。（4）若用以上方法不能分解，再考虑用拆项、添项法、换元法、待定系数法等方法。1、常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：；；；；立方和（差）公式：；；2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：；；；；；（6）3.拆、添项法在因式分解的过程中，有时不能直接提取公因式或应用公式求解，这时就要对所要分解的多项式进行适当的变形，比如将一个项拆成两个以上的项。如何拆项和添项依赖于对题设代数式的特点的观察和分析，且拆项或添项后能进行提取公因式或用公式法求解。4.待定系数法将要分解的多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质，列出几个含有待定系数的方程组，解方程组就可以求出待定系数，或者通过这些方程得到某些系数之间所满足的关系的式子，这种方法叫做待定系数法。它的理论依据是多项式恒等定理：若那么 5.换元法换元法就是把一个复杂的代数式中的某些部分看成一个整体，并用新的字母来代替它，使原式简化，便于观察和分解。【例题精讲】【例1】分解因式：【巩固】分解因式：1、； 2、【例2】因式分解：（1）（2）【巩固】（1）（2）【例3】(1)当___________时，多项式可以分解成两个一次因式的积【巩固】（1）要使多项式分解成两个一次因式的积，求的值【例4】（1）已知是一个三角形的三边，则的值是（）A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负（2）若三边长是，且满足，则是（）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形【巩固】已知：为三角形的三边长，且满足试判断三角形的形状【例5】若，求的值【巩固】若是实数，并且，则的值是__________【例6】设其中x为任意数，则y的取值范围是（）A.一切数 B.一切正数C.一切大于或等于5的数 D.一切大于或等于2的数【巩固】若x,y是整数，且则的值为（）【例7】分解因式：【例8】【例9】设求下列各式的值：（1） (2)【例10】已知求证：【例11】已知x和y都是正整数，并且满足条件求的值。【例12】分解因式