线性代数期末考试试题B及解答精选.doc

线性代数期末考试试题B及解答 一、填空：（每空2分，共34分） 1、阶行列式按照定义的完全展开式为 ；该行列式的展开式中共 项。 2、设向量组线性相关，则 ，向量组的一个极大线性无关组为 。 3、为三阶矩阵，且，为的伴随矩阵，则 ， 。 4、阶矩阵不可逆，且的伴随矩阵，则线性方程组的一个基础解系中含有 个解向量。 5、设矩阵，矩阵， 且，则= ， 。 6、为三阶矩阵，将的第二列与第三列交换得到矩阵，再把矩阵的第一列加到第二列得到矩阵，则满足的可逆矩阵＝ 。 7、设向量则矩阵， 。 8、若矩阵与对角形矩阵相似，则 ，且 。 9、设矩阵的秩为2，且，均不可逆，则的特征值为 ，实对称矩阵与相似，则二次型的规范形是 ，此二次型 （填是或不是）正定二次型。 二、计算题（要求写出计算过程） 1、计算行列式 2、求齐次线性方程组的一个标准正交的基础解系。 3、设矩阵，矩阵满足方程，其中为的伴随矩阵，求矩阵。 4、设矩阵有一个二重特征值，求参数的值，并判断矩阵能否与对角形矩阵相似，说明理由。 三、设线性方程组，问取何值时，方程组有解；有解时求出方程组的通解。 四、（14分）已知二次型 1、写出二次型的矩阵 2、用正交变换法将二次型化为标准形，并写出所做正交变换及二次型标准形。 五、证明题： 1、设矩阵满足，证明：可逆，并求。 2、设与是非齐次线性方程组的两个不同解，其中为矩阵，是对应的齐次线性方程组的一个非零解，证明： （1）向量组线性无关； （2）若矩阵的秩，则向量组线性相关。 一、填空（每空2分，共34分） 1、； 2、； 3、；3 4、1 5、；0 6、 7、； 8、； 9、；；不是 二、计算题 1、解：-------2分 ---------4分------7分 2、解： ---------2分 所以方程组的一个基础解系为------------4分 标准正交化得一标准正交的基础解系为：---------7分 3、解：因为，由可得， 所以------------------4分 ，-----------6分 --------------8分 4、解：由-------------4分 因为，，只有一个线性无关的特征向量 ，所以矩阵不能与对角形矩阵相似。---------8分 三、解： 所以时，方程组有解------------------------2分 方程组为，则一般解为---4分 方程组特解为：，导出组的一个基础解系为，-------------10分 所以方程组的通解为：，为任意常数------------------12分 四、1、------------------2分 2、，所以----------5分 对于可得两个线性无关的特征向量，施密特正交化可得两个标准正交的特征向量，---9分 对于，可得，标准化得---------11分 令，则在下，二次型化为--------14分 五、证明题 1、证明：因为------------------3分 所以可逆，且。------------------5分 2、证明：（1）设，则--------1分 即，所以，从而，由推出 所以和线性无关-----------------3分 （2）因为，所以和线性相关，即存在不全为零的使得 ，，否则必有与不全为零矛盾。 所以，即线性相关。---------------5分