有关多孔算法的思考(doc).doc

多孔算法的实践与思考? 小波的问题在那里？其中之一，平移不变性。先将源信号平移n位，再做小波变换，和先将源信号做小波变换，再平移n位，结果不同。这对于实时处理和一些场合是极为不便的。（gibbs效应于此也有关）。? 怎么办？多孔算法（atrous）可以解决此瓶颈。多孔算法，又称非抽取小波变换，即undecimated wavelet transform or nonsampled wavelet transform，简写(NSWT)。多孔算法是由M.Shen于1992年提出的一种利用Mallat算法结构计算小波变换的快速算法，因在低通滤波器h0(k)和高通滤波器h1(k)中插入适当数目的零点而得名。它适用于a=2j的二分树结构，与Mallat算法的实现结构相似。实现多孔算法，需要什么呢？回答MALLAT算法是基础。但单单MALLAT算法够吗？答案否定的。我们必须找到两种算法的不同点。 首先，为什么MALLAT不具有移不变特点而TROUS算法具有移不变特点。根源就在抽取插值上。看这个系统Y(N)=X(2N)，它是不是移不变系统，显然不是。非抽取算法，是移不变的。而这个移不变所付出的代价，就是高频分量加低频分量长度再不是源信号的长度，而是源信号长度的2倍。? 其次，滤波器还是可以用，WFILTERS()。而且重构和分解滤波器的关系，还是逆序后再右移一位（圆周卷积+周期延托）。但所有的滤波器系数要乘以SQRT(2)/2。为什么，答案在PR条件上。（第八章M通道滤波器组中有PR条件）MALLET算法PR条件有两个，一个是抗混叠，另一个是完全重构。而多孔算法由于非插值抽取，只有完全重构，且等式的右边常数是“1”，而不是MALLET-PR条件的“2”。所以MALLET的PR条件要乘以“1/2”才和TROUS一致，而这个因子“1/2”正好被分配到两个滤波器上，所以是SQRT(2)/2。? 再次，在每一层的下一层，滤波器中间要插值0。为什么？从谱上看，这是小波最经典的物理意义。数字信号一个周期的频谱范围为[-PI?PI]，MALLAT算法的低通滤波[-PI/2?PI/2]，高通滤波[-PI?-PI/2]U[PI/2?PI]，则滤波后低频分量频谱范围[-PI/2?PI/2]。这时注意“开始抽取，频谱展宽”，又回到源信号频谱[-PI?PI]，然后再低通、高通滤波，周而复始。（小波包的问题顺便也说一下，实际上将高频抽取，频谱展宽后，发生了频谱颠倒现象，论坛里对此有精彩讨论，对此不再赘述。）而多孔呢？情况变了。低频分量始终是[-PI/2?PI/2]，若低通滤波器仍是[-PI/2?PI/2]，高通滤波器[-PI?-PI/2]?U?[PI/2?PI]，岂不是有些可笑吗？于是“滤波器插值”极其精妙的登场。低通和高通滤波器频谱变窄，低通[-PI/4?PI/4]，高通[-PI/2?-PI/4]U[PI/4?PI/2]，这下物理概念对了。 采用多孔trous算法(undecimated wavelet transform)实现小波变换 clear;clc; %%? 1.生成信号 f=50;?? %? 频率fs=800; %? 采样率T=128;? %? 信号长度n=1:T;y=sin(2*pi*f*n/fs)+2*exp(-f*n/(4*fs));? %? 信号% y=circshift(y.,3).; %%? 2.正变换 l1=wfilters(db4,l)*sqrt(2)/2;???? %? 参考低通滤波器l1_zeros=[l1,zeros(1,T-length(l1))];? %? 低通滤波器1h1=wfilters(db4,h)*sqrt(2)/2;???? %? 参考高通滤波器h1_zeros=[h1,zeros(1,T-length(h1))];? %? 高通滤波器1 low1=ifft(fft(y).*fft(l1_zeros));???? %? 低频分量1high1=ifft(fft(y).*fft(h1_zeros));??? %? 高频分量1 l2=dyadup(l1);? %? 原滤波器插值l2_zeros=[l2,zeros(1,T-length(l2))];? %? 低通滤波器2h2=dyadup(h1);? %? 原滤波器插值h2_zeros=[h2,zeros(1,T-length(h2))];? %? 高通滤波器2 low2=ifft(fft(low1).*fft(l2_zeros));? %? 低频分量2high2=ifft(fft(low1).*fft(h2_zeros)); %? 高频分量2 %%? 3.反变换 lr2=circshift(l2_zeros(end:-1:1).,1).;? %?