离散数学(近世代数).ppt

近世代数 多元一次方程组的解法 对于多元一次方程组的问题，睿智的古代数学家们早已给出了解决的办法，《九章算术》中就有专门的一章”方程”来求解此类问题。运算采用的是被称为”遍乘直除”的方法，而这种方法实际上便是现在我们常用解决多元一次方程组的加减消元法。 一元二次方程的解法 一元三次，四次方程的解法 三次和四次方程把数学家们难住了一千多年，直到塔塔利亚和卡丹的出现，才真正地发现了一般的三次和四次方程的求根公式。 抽象代数的萌芽 抽象代数也是人们研究代数方程的产物。 18世纪后，人们开始研究高于四次的方程的代数求根的方法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表论文《关于代数方程解的思考》，他认为次数不低于五次的方程的代数解法一般而言是找不到的，他试图证明这个理论的正确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以补充，并得到证明，而在他们的研究工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代。 阿贝尔 厄米特评价阿贝尔：“他工作中丰富的数学思想可以让数学家们忙碌500年。” 他的论文《高于四次的一般方程的代数求解不可能性的证明》是代数学发展史上里程碑式的重大突破。 伽罗华 罗素说，他的死使数学的发展推迟了几十年。 伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。 作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。(即三大几何作图问题) 代数结构部分 第5章 代数系统的一般性质 第6章 几个典型的代数系统 第1节 二元运算及其性质 二元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 交换律、结合律、消去律 分配律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元 二元运算的定义及其实例 二元运算的实例（续） (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, ?. (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算°. 一元运算的定义与实例 二元运算的表示 算符：°, ?, · , ?, ? 等符号 表示二元运算 对二元运算 °，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x°y = z； 表示二元的方法： 公式、 运算表 二元运算的表示（续） 运算表的形式 运算表的实例 运算表的实例（续） 二元运算的性质 消去律 实例: Z, Q, R 关于普通加法满足消去律. Z\{0}, Q\{0}, R\{0} 关于普通乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律. 二元运算的性质（续） 二元运算的特异元素 二元运算的特异元素（续） 二元运算的特异元素（续） 实例分析 例题分析 例题分析（续） 5.2 代数系统及其子代数、积代数 代数系统定义 子代数 积代数 代数系统定义与实例 实例 N,+, Z,+,·, R,+,·是代数系统， + 和 · 分别表示普通加法和乘法. Mn(R),+,·是代数系统， + 和 · 分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法. Zn,?,?是代数系统，Zn＝{0, 1, … , n-1}， ? 和 ? 分别表示模 n 的加法和乘法，?x,y∈Zn， x?y = (x＋y) mod n，x?y = (xy) mod n P(S),∪,∩,~ 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补 子代数 积代数 定义 设 V1=S1,o和 V2=S2,?是代数系统，其中 o 和 ? 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=S1?S2,?, ?x1,y1, x2,y2?S1?S2 , x1,y1 ? x2,y2=x1ox2, y1?y2 例3 V1=Z,+, V2=M2(R), ? , 积代数 Z?M2(R),o ?z1,M1, z2,M2?Z?M2(R) , z1,M1 o z2,M2 = z1+z2, M1?M2 积代数的性质 定理 设 V1 = S1,o和 V2 = S2,?是代数系统，其中 o 和 ?是二元运算. V1 与 V2 的积代数是 V=S1?S2,? (1) 若 o 和 ? 运算是可交换的，那么? 运算也是可交换的 (2) 若 o 和 ? 运算是可结合的，那么? 运算也是可结合的 (3) 若 o 和 ? 运算是幂等的，那么? 运算也是幂等的 (4) 若 o