第二章第2节 逆矩阵.ppt

§3 逆矩阵 高景利 数学与统计学院 一、逆矩阵的概念及唯一性 二、逆矩阵的判定及求法 四、逆矩阵的应用 三、逆矩阵的性质 定理 若方阵　可逆,则 的逆矩阵唯一; 的逆矩阵记为 . 1.定义及唯一性 定义 设　是一个n 阶方阵，　是一个n阶单位阵，如果存在一个n阶方阵　 ，使得　　　　　　 则称　 可逆，又称　为非奇异矩阵,并称　为　的逆矩阵.否则称　不可逆，又称　为奇异矩阵． 方法一：利用定义判定。即找到矩阵B，使得AB=E（或者BA=E）。 2.判定及求法 怎么找？ 第一种：题目中已经给出了“B”，只需判断哪个是“B”，然后验证AB=E（或者BA=E）。 比如P56，21. 第二种：根据已知条件“凑”矩阵B使得AB=E（或者BA=E）。比如P56，22. 例1 设n阶方阵 满足 , 试证 可逆. 方法二：利用P43定理2判定 为矩阵 的伴随矩阵. 其中 为 中元素 的代数余子式. 称 设 重要恒等式: 定理2 方阵 可逆的充分必要条件是 ,且 。 例2 求矩阵 的逆矩阵. 所以，A是可逆的。 解 因为 又因为 所以， 从而， 3.性质 (1)若方阵　可逆，则 　也可逆，且 (2)若方阵　可逆,且数 ,则　 也可逆,且 (3)若方阵　可逆，则 　也可逆，且 (4)若方阵　可逆，则 　也可逆，且 (6)若方阵　可逆，则　　 (5)若两个同阶方阵　　可逆，则　　也可逆, 且 4.应用 含有n个未知量n个方程的线性方程组一般形式为: 令 ， ， ， 则线性方程组（I)可简化 若 ，则 存在， 让上述等式两边跟边左乘 ，可得 伴随矩阵性质: 如果 可逆,则