高等代数 第九章 欧氏空间 第8节.ppt

主要内容 定义 酉空间中的重要结论 * 第八节 酉空间介绍 一、定义 欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的. 酉空间实际就是复数域上的欧氏空间. 定义 15 设 V 是复数域上的线性空间，在 V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 (? , ?), 它具有以下性质： 1) (? , ?) = (? , ?) ，这里 (? , ?) 是 (? , ?) 的 共轭复数； 2) (k? , ?) = k(? , ?) ; 3) (? + ? , ? ) = (? , ? ) + (? , ? ) ; 4) (? , ? ) 是非负实数，且 (? , ? ) =0 当且仅当 ? =0 . 这里 ? , ? , ? 是 V 中任意的向量，k 为任意复数， 这样的线性空间称为酉空间. 例 在线性空间 Cn 中，对向量 ? = (a1 , a2 , … , an) , ? = (b1 , b2 , … , bn) , 定义内积为 (? , ?) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn . (1) 显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件. 这样 Cn 就 成为一个酉空间. 二、酉空间中的重要结论 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似, 有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的 结论，而不详细论证. 首先由内积的定义可得到 1) (? , k?) = k (? , ?) . 2) (? , ? + ? ) = (? , ? ) + (? , ? ) . 和欧氏空间一样，因为 (? , ? ) ? 0，故可定义 向量的长度. 3) 叫做向量 ? 的长度，记为 | ? | . 4) 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对 任意的向量 ? , ? 有 | (? , ?) | ? | ? | | ? |， 当且仅当 ? , ? 线性相关时，等号成立. 注意： 酉空间中的内积 (? , ?) 一般是复数， 故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入 5) 向量 ? , ? ，当 (? , ?) = 0 时称为正交或互 相垂直. 在 n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准 正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性 质： 6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过 程正交化，并扩充成为一组标准正交基. 7) 对 n 级复数矩阵 A，用 A 表示以 A 的元素 的共轭复数作元素的矩阵. 如 A 满足 ATA = AAT = E， 则称之为酉矩阵. 它的行列式的绝对值等于1 . 两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以 引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵. 它们也分别 具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把 它列举在下面： 8) 酉空间 V 的线性变换 A ，如果满足 (A ? , A ? ) = (? , ? )， 就称为 V 的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下 的矩阵是酉矩阵. 9) 如果矩阵 A 满足 AT = A， 则叫埃尔米特(Hermite)矩阵. 在酉空间 Cn 中令 则 (A ? , ? ) = (? , A ? )， A 也是对称变换.