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* § 3.3基本定理的推广——复合闭路定理 定理 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则 证明：取 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理 推论（复合闭路定理）： (互不包含且互不相交)， 所围成的多连通区域， 例题 C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 解： （由闭路变形原理） § 3.4 原函数与不定积分 （Cauchy-Goursat）基本定理： 如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线 C 的积分为零: 推论（定理一）： 如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析, C属于B， 与路径无关仅与起点和终点有关。 于是 是解析函数。 解析函数的导数仍为解析函数 特别地 例如： 注：以上讨论中B为单连通域。 这里D为复连通域。 § 3.5 柯西积分公式 若 f (z) 在D内解析，则 分析： .定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则 ---解析函数可用复积分表示。 [证] 由于f (z)在 z0连续, 任给e 0, 存在d (e) 0, 当 |z-z0|d 时, | f (z)-f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R d. D C K z z0 R 根据闭路变形原理, 该 积分的值与R无关, 所以 只有在对所有的R 积分 值为零才有可能。 *
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