有限元方法课件 第五章 等参单元与高阶单元.ppt

第五章 矩形单元和等参单元 1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。 本部分内容结束 §5–1 矩形单元 §5–2 等参单元 第五章 矩形单元和等参单元 有限元分析的主要步骤(位移元) 1.连续介质离散化：形成有限元网格，并完成单元及结点编号 5.引入位移强制边界条件：消除总刚度矩阵的奇异性 6.解线性代数方程组：得到结点位移 7.计算应力、应变：由结点位移计算单元的应力、应变 8.其它要求：进行其他工程上的要求计算 2.确定单元的近似位移模式：得到以结点位移为未知量的位移函数 3.单元特性分析：建立单刚和等效结点荷载列阵 4.集成总体刚度方程：形成总刚和总结点荷载列阵 回顾：平面问题有限元方法小结 矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元1234如图5-1所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用与上一章的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系?、?，那么就可以推出比较简洁的结果。 图5-1 矩形单元1234 §5-1 矩形单元 　　在图5-1中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，?和?轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系 (5-1) 式中 其中 (xi , yi）是节点i的整体坐标，i =1,2,3,4。 　　在局部坐标系中，节点i的坐标是(?i , ?i )，其值分别为±1。取位移模式 　　将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数?1，?2，…，?8，再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式 (a) (b) 其中 (c) 　　式中 ?0 =?i ?，?0 =?i ?，i =1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有 式中 (d) 由几何方程可以求得单元的应变 (e) (f) 将(b)式代入，得 (g) 式中 (i=1,2,3,4) (5-2) 由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即 (5-3) 其元素是坐标的线性函数，说明应变在单元内是线性变化的。 式中 (i=1,2,3,4) (h) 对于平面应力问题 (5-4) 若将单元刚度矩阵写成分块形式 (5-5) 正应力 的主项是 的线性函数，而次要项按 线性变化。 则其中的子矩阵可按下式进行计算 (i) 如果单元厚度t是常量，则 (i, j =1,2,3,4) (5-6) 　　同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、?分别换成E / 1-? 2 和? / 1-? 即可。 四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为 (j) 　　其中载荷列阵{R}e 与上节中的(c)式相同，仍可按三角形单元一章的方法计算等效节点力。但是，需要注意的是，矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e 具有8个元素，即 (5-7) 　　⑵ 如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，且在该边界上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大，那么可将总表面力的三分之一移置到前一个节点上，而将其三分之二移置到后一个节点上。 　　和常应变三角形单元一样，将各单元的{k}、{?}e 和{R}e 都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即 [K]{?}={R} (l) 两种常见载荷的等效 　　⑴ 对于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四分之一的自重，其载荷列阵为 (k) 　 由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了? ?项（即相当于x y项），我们把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从[B]的表达式中看出。另外，位移模式(a)中的?1、?2、?3、?5、?6、?7与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上(? =±1或 ? =±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。 矩形单元的应变 　　由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量?