专题03+直击函数压轴题中零点问题-2018版高人一筹之高三数学（理）二轮复习特色专题训练+Word版含解析.doc

一、解答题 1．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在区间内有唯一的零点，证明： . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知 且于是： ①， ② 由①②得设g(x)lnx?，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． （2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知， 且. 于是： ① ② 由①②得，设， 则，因此在上单调递减， 又， 根据零点存在定理，故. 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)． (1)当b＝1时证明：函数f(x)在区间内存在唯一零点； (2)若当x∈[1,2]，不等式f(x)1有解．求实数b的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围． (2)由题意可知x2＋bx－11在区间[1,2]上有解， 所以b＝－x在区间[1,2]上有解． 令g(x)＝－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减， 所以bg(x)max＝g(1)＝2－1＝1 ，从而实数b的取值范围为(－∞，1)． 点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 3．已知函数. （1）若，判断函数的零点个数； 2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围； （3）已知R且 ，求证：方程 在区间上有实数根. 【答案】⑴见解析;⑵;⑶见解析. 【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明. 试题解析： ⑴ , 当时， ，函数有一个零点； 当时， ，函数有两个零点 ⑶设 则 , 在区间上有实数根， 即方程在区间上有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4．已知函数图象上一点处的切线方程为. (1)求的值; (2)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中 为自然对数的底). 【答案】(1)a=2,b=1.(2) . 【解析】试题分析： 本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用．(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解．(2)先利用导数研究函数h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解． (2)由（1）得f(x)=2lnx﹣x2， 令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m， 则， 令h(x)=0，得x=1(x=﹣1舍去)． 故当x∈时，h(x)0，h(x)单调递增； 当x∈(1，e]时，h(x)＜0，h(x)单调递减． ∵方程h(x)=0在内有两个不等实根， ∴，解得． ∴实数的取值范围为. 点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题． （4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5．已知函数，其中为自然对数的底数， （I）若，函数 ①求函数的单调区间 ②若函数的值域为,求实数的取值范围 （II）若存在实数,使得，且，求证： 【答案】（1）①详见解析②实数的取值范围是；（2）； 试题解析： （1）当时， . ①. 由得，由得. 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. ② 当时， ，所以在区间上单调递减； 当时， ，所以在区间上单调递增. 在上单调递减，值域为, 因为的值域为，所以， 即. （2）. 若时， ，此时在上单调递增. 由可得，与相矛盾， 同样不能有. 不妨设，则有. 因为在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时， . 由，且，可得