2013高考直线和圆锥曲线汇总.doc

2013高考直线与圆锥曲线汇总 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）为坐标原点，为抛物线：的焦点，为C上一点，若，则△POF的面积为（ ） A. B. C. D. 【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解. 【解析】选C.设，则，解得，因为为C上一点，则，得 ，所以. 2.（2013·江西高考文科·Ｔ9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|= （ ） A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3 【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解. 【解析】选C.设直线FA的倾斜角为，因为F（0,1），A（2,0），所以直线FA的斜率为，即，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得，在中,可得，即|FM|：|MN|=. 3. （2013·重庆高考文科·Ｔ10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可. 【解析】选A.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，所以渐近线斜率满足,解得.故选A. 4. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【解题指南】本题中给出的中点坐标，所以在解题时先设出，两点坐标，然后采用点差法求解. 【解析】选D.由椭圆得，， 因为过点的直线与椭圆交于，两点， 设，,则， 则 ① ② 由①-②得， 化简得. ， 又直线的斜率为，即. 因为，所以，解得，. 故椭圆方程为. 二、解答题 5.（2013·安徽高考理科·Ｔ18）设椭圆的焦点在轴上 （Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程； （Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。 【解析】(1)因为焦距为1，所以，解得，从而椭圆E的方程为. 设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，，故直线的方程为, 当x=0时，，即点Q坐标为，因此直线的斜率。由于，所以 化简得 ① 将① 代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得，即点P在定直线x+y=1上。 6. （2013·天津高考文科·Ｔ18） 与（2013·天津高考理科·Ｔ18）相同 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程. (Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示求解. 【解析】(Ⅰ)设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又，从而，所以椭圆方程为. (Ⅱ)设，由得直线CD的方程为由方程组消去y，整理得 可得因为所以 由已知得，解得 7.（2013·北京高考文科·Ｔ19）直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。 （1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长； （2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。 【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长. (2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾. 【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，因此A、C点的坐标为，于是AC的长为。 （2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。 设OA=OC=r（r1)，则A、C为圆与椭圆的交点。 ， ，点与C点的横坐标互为相反数或相等， 此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。 8. （2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 （1