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第二章 线性规划模型 Linear Programming （1）重点掌握LP问题的建模方法，会建LP模型 （2）掌握LP模型的基本概念 （3）理解LP模型的几何意义 （4）理解LP问题的图解法 （5）会利用数学软件求解LP问题 本章要求 第二章 线性规划模型 2.1 拟定生产计划问题 2.2 运输问题 2.3 食谱问题 2.4 作物布局问题 2.5 配料问题 2.6 LP模型的一般形式与标准形式 2.7 LP模型的几何解释和图解法 2.1 拟定生产计划问题 问题 已知该厂明年的工时限额为18480h，能耗限额为100t标准煤，欲使该厂明年的总利润最高，请确定各种产品的生产数量，试建立数学模型。 某化工厂生产 四种化工产品，每种产品生产1吨的工时、能源和获得的利润如表所示。 1 8 5 2 利润万元 0.1 0.5 0.3 0.2 能耗 75 380 250 100 工时 产品资源 100 18480 资源限量 分析建模 目标函数 设该厂全年生产 四种产品的数量分别为 ，则 决策变量 约束条件 LP 问题求解 (Matlab) f=[-2,-5,–8, -1]; a=[100,250,380,75;0.2,0.3,0.5,0.1]; b=[18480;100];lb=[0;0;0;0]; [x,fval]=linprog(f,a,b,[],[],lb,[]) 解得 x=[0;0; 48.6316;0] fval= -389.0526 一般的拟定生产计划问题 资源限量 利润 产品资源 代表一个生产计划 LP模型（拟定一个最优的生产计划） 向量矩阵形式 2.2 运输问题 m 产量 销量 1 n 2 1 销地产地 设某物资有m个产地，n个销地，第i个产地的产量为 ，第j个销地的需要量为 。由产地i到销地j运输单位物资的运价（单价）为 。问应如何分配该种物资，使既能满足各地的需要，又使总运费最少。其中 分析建模 设 表示产地i供给销地j的物资数量 满足各销地的需要量 各产地的运输量不超过产量 则最小总运费为 LP 2.3 食谱问题 问题 一饲养厂饲养供实验用的动物，已知动物生长对饲料中的三种营养成分蛋白质、矿物质和维生素特别敏感，每个动物每天至少需蛋白质70g、矿物质3g和维生素10mg，现有五种饲料，每1kg含营养成分如表,每种饲料10kg成本如表 成本/元 维生素/mg 矿物质/g 蛋白质/g 饲料 2 0.05 0.10 0.30 5 0.08 0.05 1.80 3 0.20 0.20 0.60 4 0.02 0.02 1.00 7 0.10 0.05 2.00 设动物每天食用的混合饲料中所含的第j种饲料的数量为 kg，混合饲料的总成本最小，则 分析建模 LP 每天至少需蛋白质70g 每天至少需矿物质3g 每天至少需维生素10mg m 营养 需要量 单价 1 n 2 1 食品营养 一般食谱问题 代表食品数量计划 数学模型 2.4 作物布局问题 问题 红星农场要在 n 块土地上，种植 m 种作物，各块土地的面积、各种作物计划种植面积、在各块地上的每平方米产量如下表，问应如何合理安排种植计划，才能使总产量最高。 计划播种的总面积=土地的总面积 m 计划播种面积 土地面积 1 n 2 1 土地作物 设 为在土地 j 上种植作物 i 的面积，则 分析建模 LP 为土地 j 种植作物 i的每平方米产量，总产量最大 在各块地上种植作物 i 的面积 之和=作物 i 的计划播种面积 在土地 j 上种植各种作物 的面积之和=土地 j的面积 2.5 配料问题 问题 各成分 需要量 单价 原料成分 问应如何配料，才能使产品的总成本最低？ 设采用原料 的数量为 单位，则 建模 2.6 LP模型的一般形式与标准形式 2.7 LP模型的几何解释和图解法 LP 问题求解(Matlab) f=[-1,-3];a=[ 1 , 1]; b=[2];lb=[0;0]; [x,fval]=linprog(f,a, b,[],[],lb,[]) 解得 x=[0;2] fval=-6 x*=(0,2)′ z*