关于用追赶法求解系数矩阵的三次样条插值实验报告。.doc

数值分析实验报告 实验名称 关于用追赶法求解系数矩阵的三次样条插值实验报告。 实验目的 会使用matlab 语言编程使用追赶法和三次样条插值 结合求解线性方程组的解。 实验内容 算法如下： function?x=followup(a,b,c,d) n=length(d); a(1)=0; %“追”的过程 L(1)=b(1); y(1)=d(1)/L(1); u(1)=c(1)/L(1); for?i=2:(n-1) ????L(i)=b(i)-a(i)*u(i-1); ????y(i)=(d(i)-y(i-1)*a(i))/L(i); ????u(i)=c(i)/L(i); end L(n)=b(n)-a(n)*u(n-1); y(n)=(d(n)-y(n-1)*a(n))/L(n); %“赶”的过程 x(n)=y(n); for?i=(n-1):-1:1 ????x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1); end用matlab编程如下: function[s,y0]=spline3?(x,y,x0) %x,y为数表x0为插值点s表示插值函数y0为x0对应的插值函数值 syms?t n=length(x); %得出n for?i=1:n-1; ????h(i)=x(i+1)-x(i); end for?i=2:n-1; ????lamda(i)=h(i)/(h(i-1)+h(i)); ????miu(i)=1-lamda(i); ????g(i)=3*(lamda(i)*((y(i)-y(i-1))/h(i-1))+miu(i)*((y(i+1)-y(i))/h(i))); end g(1)=3*((y(2)-y(1))/h(1)); g(n)=3*((y(n)-y(n-1))/h(n-1)); %前边求出lamda?miu和g从而可以确定系数矩阵 miu(1)=1; miu(4)=0; lamda(n)=1; %根据第二边界条件补充两个lamda和miu的值 for?i=1:n ????beta(i)=2; end m=followup(lamda,beta,miu,g) %解出m的值从而可确定st?st为各段的插值多项式 for?i=1:n-1 ????st(i)=(t-x(i+1))^2*(h(i)+2*(t-x(i)))*y(i)/(h(i)^3)... ????+(t-x(i))^2*(h(i)+2*(x(i+1)-t))*y(i+1)/(h(i)^3)... ????+(t-x(i))^2*(t-x(i+1))*m(i+1)/(h(i)^2)... ????+(t-x(i+1))^2*(t-x(i))*m(i)/(h(i)^2); end %得到插值的结果各段的t的表达式 %接下来要将插值点x0代入首先确定x0所在的插值区间 for?i=1:n-1 ????if?(x(i)x0)(x(i+1)x0) ????????in=i; ????end end s=st(in); s=expand(s); s=collect(s,t); y0=subs(s,t,x0) %s是插值多项式y0是插值点的函数值 实验结论 用追赶法和三次样条插值法结合能更有效的解线性方程组问题的解，它比只用追赶法解方程组问题的解更简单，运算次数和计算量也大大降低，它使得计算过程过程中不会出现中间结果数量级的巨大增长和舍入误差的严重积累，这样使得计算结果的误差大大减小，从而使得解具有很高的精确度。