三维各向同性谐振子1.ppt

量子力学教程(第二版) 5.3 三维各向同性谐振子 量子力学教程 考虑质量为m的粒子在三维各向同性线性谐振子势V(r)中运动 （1） w是刻画势阱强度的参量，径向方程为 采用自然单位，令 ,方程（2）化为 5.3 三维各向同性谐振子 r=0，?是微分方程的奇点，其余r为常点. 现在研究当r?0及r?? 时，解Rl(r)的形式 当r ??时，方程（3）化为 Rl(r)有两个解 当r＝0邻域，物理上可接受的径向波函数的渐近行为是 当r?0时， 但 不满足束缚态条件，弃之，因此 因此方程（3）的解可以表示为 代入（3）式,得 上式化为 令 （8）式属于合流超几何方程，其中参数 方程（8）有两个解 由于 在ξ～0邻域，u2解是物理上不能接受的，因此，方程（8）的解只能取 合流超几何函数表示为 即 ，添上自然单位得 三维各向同性谐振子的能量本征值 对于束缚态，必须要求F(a, g,ξ)中断为一个多项式，从 （11）式看出，这要求a＝0或负整数 径向波函数(添上自然单位)为 经归一化后 nr=0,1的径向波函数分别 讨 论 1、能级简并度 三维各向同性谐振子的能级一般是简并的.表现为能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合 N＝2nr+l 对于给定能级EN(即给定N) ,有下列各种组合: EN能级的简并度为： 图2给出了各向同性谐振子的能级和简并度 2、直角(Cartesian)坐标系中求解 采用直角坐标系，利用 三维各向同性谐振子可分解为振子强度w相同的三个 彼此独立的一维谐振子，即 相应的能量本征值为 上式中的每个方程式的形式与一维线性谐振子的定态Schr?dinger方程相同，这样可用一维线性谐振子的求解结果（这相当于选择 作为力学量的完全集）， 它们的共同本征态为