3-8 最值问题模型.ppt

第八节 一、函数在闭区间上的最值 分析 三、最值问题模型举例 例3 内容小结 最值问题模型 第三章 一、函数在闭区间上的最值 二、函数在开区间上的最值问题 三、最值问题模型举例 设 f ( x )在 [a , b]上， 除有限个点外可导， 且至多在有限个点处导数为零. f ( x )在闭区间[a , b]上连续，必有最值. 问题： ? 最大（最小）值可能在开区间(a , b)内取得. ? 最大（最小）值可能在端点处取得; 此时, 最大（最小）值点必是 f ( x )的一个 极值可疑点： f ( x )的驻点或不可导点. 步骤： 1? 找出 f ( x ) 在(a , b)内的所有极值可疑点： 2? 若f ( x )在[a , b]上是单调函数， 值和最小值分别在区间[a , b]的两个端点处取得. 那么最大 试求 解 例1 又 最大值为 故所求的最小值为 从而 设 f (x)在(a , b)内连续且可导(或至多在 处不可导), 为 f (x)在(a , b)内的唯一驻点 (或不可导点), 则 (1) 若对 (2) 若对 二、函数在开区间上的最值问题 定理3.14 设f ( x )在(a , b) 具有连续导数, 处具有二阶导数, 为f (x)在(a , b) 内的唯一 驻点, 则 定理3.15 (1) 若 (2) 若 设 f (x)在区间I上可导，且在I内有唯一驻点x0 . 若f(x0)为f (x) 的极大值(极小值)，则必为f (x) 在I上的最大值(最小值). 情形3 一般地，有 x0 解 例2 求证： 在实际问题中,如果根据问题的性质可以 有最大值或最小值, 则 可以断言 不再需要另行判定. 必是 f (x) 判断目标函数 f (x) 在其定义区间 I 的内部确 而 f (x)在 I 内可导且只有 情形4 唯一的驻点 x0 , 在区间 I 上的最大值或最小值, 　　敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的 B处向正东追击，速度 为2千米/分钟．问: 速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？ 点击图片任意处播放\暂停 解 (1)建立敌我相距函数关系. 敌我相距函数: 得唯一驻点: t 2t 4-2t 又由实际问题知，s 的最小值一定存在 1. 注意最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念. 最值点应在极值可疑点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 . 2. 连续函数的最值 解 思考题 而 所以此极大值就是最大值. 前面学习了极值，极值是局部最值，不一定是最值，很多问题关心的是最值问题，所以有必要来研究一下函数的最值 最值定理告诉我们有最值，但并没有告诉我们如何来求最值 与极值的定义相似，只是将邻域换成了区间 将极值的条件由邻域拓展到区间