分子的对称性 北京航空航天大学化学与环境学院.ppt

若G群的元素数目为有限, 则称G为有限群, 有限群G的元素数目称为群阶 (h). 反之则称G为无限群. 由上述群的定义, 可以证明: ① 群G的恒等元e是唯一的; ② 群G中的任意一个元素a的逆元是唯一的, 记作a-1. 例1 G = {1, -1}, G中的两个元素1和 (-1) 对于数乘法作成一个群. 因为对于数乘法, 1和-1满足群所要求的封闭性和结合律 (数乘法结合律); 1为恒等元, 1的逆元为1; -1的逆元为-1. 例2 全体非零实数R对于数乘法作成一个群. R的结合法是数乘法, R中的所有元素对于数乘法满足封闭性和结合律, 1为R的恒等元, 而非零实数a的逆元a-1为1/a. 例3 全体整数Z对于数加法作成一个群, 称为整数加群. Z中的所有元素对于数加法满足封闭性和结合律, 0数为Z的恒等元, 任意整数a的逆元为-a. 例4 一维平移群 为某一方向上的素矢量, 对于矢量加法作成一个群. 从群的结构关系看, 平移群 为整数加群的一个同构对应. 例5 全体n级非异方阵M = { , } ( 是与矩阵A对应的行列式) 对于矩阵乘法作成一个群 (n维完全线性群, 记作GLn). M满足群定义的四个条件: ① 封闭性 若A和B为M中的任意两个方阵, 则A和B乘积C = AB亦为M中的一个方阵, 因C仍是一个n级方阵, 且 . ② 结合律 对于M中的任意三个方阵A、B和C, 由矩阵乘法知 (AB)C = A(BC) DC = AE ④ 逆元 M中的任意一个方阵A均有逆方阵A-1, A-1为 2 定理1: 设G为一有限群, 其元素为 a1 (e), a2, a3, …… , an …… (1) 如果ak是群G中的一个任意元素, 则G的每一个元素在序列 eak, a2ak, a3ak, …… , anak …… (2) 中出现一次, 且只出现一次; 同理, G的每一个元素在序列 ake, aka2, aka3, ……. , akan …… (3) 中出现一次, 且只出现一次. 3 定理2 : 设a, b和c为群G中的任意三个元素, 则 证明: 同理可证 ∴ 是群元素abc的逆元. 6 群元素的周期 (阶): 设a为G群中的一个任意元素, 能使an = e的最小正整数n称为a的周期或阶. 若此n不存在, 则a称的周期为无限. 例6 G中的?1和?2的周期均为3, ?3 = e = 1的周期为1. 整数加群中的恒等元0的周期为1, 其它群元素的周期为无限. 7 循环群: 若群G中的每一个元素均为其某一个元素a的幂ak (k是整数), 则称群G为循环群, 记作G = (a), a称为群G的生成元, a的周期为循环群G的阶. 循环群为一交换群, 因为对于循环群中的任意两个群元素b (b = am) 和c (c = an) 乘积bc有关系 例6 群 共有3个群元素, 其中元素 ?1 和 ?2 均为群G的生成元. 平移群Tm的生成元为 , 平移群的任意一个平移矢量 8 子群: 若群G的子集H对于G的乘法亦作成一个群, 则称H为群G的子群. 任何群G至少有两个子群, 一是群G的本身, 二是仅由e构成的子集{e}, 这两个子群称为群G的平凡子群. 9 定理3: 群G的非空子集H是子群的充要条件为 ① 若a和b为H中的任意两个元素, 则乘积ab亦属于H ( ab?H ); ② 如果a属于H, 则a的逆元a-1亦属于H ( a-1?H ). (证明从略) 10 定理4: 群G的非空有限子集H是子群的充分必要条件为H中的元素对于群G 的乘法满足封闭性条件. 11 定理5: 若群G是有限群, 则群G的子群H的阶一定是群G的阶的因子. 12 定理6: 有限群G中的任意一个元素a的阶均为群G阶的因子. §1.2 分子的对称性 分子的对称性: 是指在分子结构中, 有相互对应的等同结构内容. 与分子对称性相关的几个问题: ① 分子的对称性表现为一个分子在经过不改变其中任何两点距离的操作 (变换) 作用后, 能与其自身重