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面面垂直1好讲
制作人:李老师 1、二面角的平面角必须满足 三个条件 2、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量 1、定义法 2、垂面法 一、二面角的定义: 二、二面角的表示方法: 三、二面角的平面角: 四、二面角的平面角的作法: 五、二面角的计算: 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。 二 面 角 ?-AB-? 二 面 角C-AB-D 二 面 角?-l-? 1.找到或作出二面角的平面角 2.证明 1中的角就是所求的角 3.计算所求的角 复习回顾 观察:教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角?分别指出这些二面角的度数 定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 一、平面与平面垂直的判定 记作: 两个平面互相垂直 通过画成: 直立平面的竖边 画成与水平 平面的横边垂直。 平面α与β垂直, 记作:α⊥β。 两个平面互相垂直的画法及其表示: 观察:为什么教室的门转到任何位置时,门所在平面都与地面垂直? 问题: 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直? 如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 猜想: 平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. α β a A 简记:线面垂直,面面垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直 符号: 下面我们来证明这个定理 求证:α⊥β. 分析:要证明两个平面互相垂直,只有根据两个平面互相垂直的定义,证明由它们组成的二面角是直二面角,因此必须作出它的一个平面角,并证明这个平面角是直角.如何作平面角呢?根据平面角的定义,可以作BE⊥CD,使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角. 求证:α⊥β. 证明:设a∩β=CD,则B∈CD. ∴AB⊥CD. 在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,又AB⊥BE,即二面角α-CD-β是直二面角. ∴α⊥β. α β C D A B E 思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直?过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直? α P l α l 例1、空间四边形ABCD中,已知AB=3,AC=AD=2,∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 CB=√7求证:平面BCD⊥平面ADC C A B D O 找二面角的平面角 说明该平面角是直角。 (一般通过计算完成证明。) 定义法: 证明:设DC中点为O,连结AO、BO, ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角A-DC-B的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 例2 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面于A,C是圆O上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC A B C P O 证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC 平面PAC⊥平面PBC 证明 面面垂直要从寻找面的垂线入手 课堂诊断: 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.( ) 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线,则α⊥β.( ) 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.( ) 4.若m⊥α,m β,则α⊥β.( ) × × √ √ 5.二面角指的是( ) A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时,两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。 B 探究: 如图所示:在Rt△ABC中,∠ABC=900 ,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,你能发现哪些平面互相垂直,为什么? P A B C 平面PAC⊥平面ABC 同理:平面PAB⊥平面ABC 平面PAB⊥平面PBC 如图正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2 ,G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EFG中 必有( ) (A)SG⊥EFG所在平面 (
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