图像变换 Read.ppt

第三章 图像变换 图象变换可以看成是一幅图象经过一个系统生成的结果：f(x,y) → h(x,y) → g(x,y)。 如果系统h(x,y)满足一定的条件：齐次性、可加性和时不变性，就成为了线性时不变系统。一般而言，都将图像处理系统看成为线性时不变(位置不变)系统。 于是，可将图像变换看成是图象经过一线性位置不变系统的结果。所有线性系统理论都可以拿来使用。 图像变换是将图像从空域变换到其它域，如频域。 图像变换需满足某些条件。 图象处理——通过某种方法将数字图象中的象素进行改变，以达到预期效果。 通常，图象处理在以下三个域中进行： 空域处理：利用某种方法直接对数字图象中的象素进行修改。 频域处理：将空域图象经过傅立叶变换，使其成为“频域图象” ，而后对其各个频率成分进行处理；处理完成后，将 “频域图象” 图象经过傅立叶反变换为空域图象。 其它域处理：空域图象经过某种变换，使其成为“对应域图象” ，而后进行相应处理；处理完成后，将 “对应域图象” 图象经过对应反变换为空域图象。 图象为什么要变换 利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处理过程 空域图象经过变换后形成 “对应域图象”，从中会看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。 变换后形成 “对应域图象”，会呈现某些性态，利用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。 应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨论的主要问题之一。 变换选择的原则 1)变换必须是可逆的。 2)变换不能损失信息。 3)变换必须是有好处的。 4)变换算法必须是不复杂的。 G(i,j) = I f(x,y) → f(x,y) = I-1 G(i,j) 虽然满足1、2、4条件，但不满足第三条。 一、一维变换 1、正交函数集合的正交性和完备性 设：一维连续实值函数集合un(t)={u0(t),u1(t),u2(t)…}， 若此集合中的函数满足 时，称集合un(t)为正交函数集合。当C=1时，称集合un(t)为归一化正交函数集合。 从几何的观点来看正交性——相互垂直 例如： un(t) ={sin(Ωt)、 sin(2Ωt) 、 sin(3Ωt) 、 sin(4Ωt)、… cos(Ωt)、 cos(2Ωt) 、 cos(3Ωt) 、 cos(4Ωt)、……} —— 傅立叶级数中的函数族 若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，可以用展开式表示为： 2、离散情况 用满足上式的n维正交基矢量组成矩阵 3、一维正交变换 4、酉变换 二、二维变换 与一维的思想一样，设：二维连续实值函数集合 Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y), a0,2(x,y), … a0,v(x,y), a1,0(x,y), a1,1(x,y), a1,2(x,y), … a1,v(x,y) … … … … … … … au,0(x,y), au,1(x,y), au,2(x,y), … au,v(x,y)} 若此集合中的函数(U×V个)满足 对正交函数集合的理解 如果对正交函数集合auv(x,y)在某个给定区域内等间隔采样，则每个aij(x,y)就是一个矩阵，其元素值既和x、y有关，又和i、j有关。则这u×v个矩阵构成了u×v维空间的u×v维的正交基。 结论: 如果能够找到一组正交且完备的函数集合au,v(x,y) ，则任何平方可积分段连续的二维函数f(x,y)——图像，都可由这个函数集合的加权和表示。如果f(x,y)以离散形式( m×n矩阵)表示——数字图像，该数字图像f(x,y)可分解为在m×n维正交空间内，在m×n维正交基au,v(x,y)上的投影。同一维情况类似，有： 正变换：将任意一个数字图像分解成为一个由该图像投影在给定正交基上的分量组成的图像。 反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的图像合成为空域图像。 1、二维变换 二维变换的理解 F(u,v)中的任何一个像素为原图像所有像素的加权和。 F(0,0)为f(x,y)在u×v维正交基a0,0(x,y)分量上的投影。 2、变换核的可分离性 上述f(x,y)、F(u,v)的计算所需的乘法和加法的次数是与N×M有关的数。如果u×v维空间的正交基ai,j(x,y)可以写成： —— 一个二维完备正交基＝两个一维完备正交基之积 其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1}为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示： A={a(u