在疑惑中提出问题在问题中点燃火花.doc

在疑惑中点燃智慧的火花 浙江省 湖州中学 冯 寅 (313000) 在数学的学习中，最重要的是提出问题，提出问题比解决问题更有意义，它有利于学生思考问题和分析问题。要有问题首先要生疑，在我们的学习中，许多地方是可以质疑的，如：好象条件不足；可能题目有错；答案纯属偶然等等，我们若能抓住这些疑惑，点燃学生思维的火花，一定能培养学生思维的批判性和深刻性，从而真正领悟数学的真谛。笔者在教学中多次遇到这样的机会，也体会到了这种教学的价值和乐趣。下面例举两个案例和大家共赏。 案例1（疑惑---------纯属偶然） 问题：求：过直线：和直线：的交点，且过坐标原点的直线方程。 这是我在复习直线这一节时在课堂上要学生练习的一个题目。这题大部分学生的解法是利用两直线的方程组成的方程组，解得交点是。再利用直线方程的两点式可得：所求的直线方程是：。这样一个不起眼的题目，一般不会引起我们的注意，但是一个偶然的机会，使我们看到它背后蕴涵着的重要方法和结论。 学生在练习的时候，我在教室巡视时，有一位学生问我，两式相加就是要求的直线方程？对不对？我走回讲台。 师：大家应该完成了吧，直线方程是什么？（大家都说是）。还有没有话要说？（大家你看看我，我看看你）。有同学提出：把已知的两个方程相加正好是所求的方程（大家很惊讶！）。请大家思考一下，为什么？是否偶然？（一石激起千层浪，学生纷纷议论） 生1：是偶然的！因为两方程相加常数正为零，过原点了。若把直线的方程改为：，两式相加就不对了。 生2：是偶然的！两个方程相加，怎么知道就过原来两直线的交点呢？ 生3：两个方程相加得到的方程，过原来两直线的交点这是必然的。因为两直线的交点坐标一定适合相加后的方程（许多学生点头表示赞同）。但是，相加后常数为零，正好表示直线经过原点好象是偶然的。 生4：刚才前面同学说把方程改为，我看还是可以解决的。我们可以改变常数，使方程变为，再相加就对了（大家很奇怪）。 生1：那么再把过原点改为过点，这个方法完全失效了（大家笑！不语） 师：难道这就不行了？(希望之火不能熄灭) 生5：我把过点转化为过原点，把两直线的方程改为：：，：，再相加又对了。（大家哈哈大笑！） 师：到底是偶然还是必然的？ 生：有偶然也有必然。 师：对！表面上看起来，随着方程的形式，点的坐标的不同，方法在不断的变化，但是，其中确实有必然的因素存在。 必然因素：两条直线的方程相加的意义是：表示一条新的直线，这条直线经过原来两直线的交点。 设两直线方程为：，：相交与点，那么，经过和的交点的直线可以表示为：()=0。有个这样的共识，不管点的坐标是什么，我们只要代入方程，求出就可以了。 这个方法在我们以后的学习中有什么价值？ 生6：我们可以不求交点，而解决和两直线交点有关的问题。 师：很好！让我们来试一试。 例1 求：过点，且过两直线和的交点直线方程。 分析：设过两直线交点的直线方程为：()=0。因为过点，代入方程可得：，则，所求的直线方程为：。 变形1：过两直线交点，平行于直线 变形2：过两直线交点，垂直于直线 师：上面结论的另一应用是，若我们已知一个含有参数的二元一次方程，我们确定它是否过定点。 求证：不论为何值，直线过一定点。并求此定点的坐标。 分析：原方程可整理为：，这就是过直线和交点的直线方程。所以定点满足：，解得：，那么，定点为。 变形1：若、满足，则直线过定点吗？若是，定点是什么？ 变形2：求证：直线过丁点。 （学生用自己探索出的结论来解决问题，心情愉快，记忆深刻。当我心满意足的想结束话题的时候，又有学生提出了问题） 生7：若和平行时，()=0。是什么意思？ 师：大家猜一猜，应该是什么关系？ 生：平行！（这是一种类比的思想） 师：能不能严格证明？（利用对应系数成比例可以完成）那么，我再给大家看下面的问题： 例3已知三条直线，：；：，：。你能判断出这三条直线有怎样的关系？ 分析：这题可为是对上面探索的一个总结。明显可以看出，和相加正好是。因此，当和平行时，也和它们平行；当和相交时，也和它们相交于同一点。 案例2（疑惑---------条件不足） 问题：已知数列是等差数列，，求：。 当我出示该题后，学生整齐的低下了头，静静的开始计算。我巡视了一周，大部分学生的解法是这样的：设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以有：。这时，陆陆续续有学生抬起头，再看了看题目，有的学生皱起了眉头，另外一部分学生窃窃私语“好象条件少了”。这时，我叫了暂停。 师：同学们在解题中遇到了什么困难？ 生1：解不出来的，好象条件少了。 师：（我装着再看了一下原题，）是这