聚焦纤维透镜3.ppt

§6.2 聚焦纤维中的光线轨迹 聚焦纤维的折射率分布一般可用式(6.1.16)的近似式表示: (6.2.1) 为使公式简单，上式把折射率沿径向的变化n(r)表示为n，轴上折射n(0)表示为 ，A是折射率变化特性常数，r是纤维上某点至轴的距离。这里只考虑近轴的子午光线 非均匀介质中的光线方程为: 式中r为光线路径上点的位置矢量，s为沿光线上弧长，▽是梯度算符，如图6.2.1所示。现在用直角坐标来讨论，仍取z为轴向，对近轴光线，ds近似于dz，则xoz平面内的光线方程为: (6.2.2) (6.2.3) 图6.2.1 “非均匀介质”中光线方程说明图 柱形纤维中的折射率对z轴对称，式(6.2.1)可该写成: (6.2.4) 因折射率n沿轴向z不变，即 ，且假定 ，由式(6.2.4)得纤维透镜中得光线方程: (6.2.5) 它的通解即光线轨迹为: 求导可得光线轨迹曲线得斜率: (6.2.7) (6.2.6) 其中积分常数B、C可由初始条件确定。 其中积分常数B、C可由初始条件确定。 设入射光线在聚焦点z=0处，以斜率 入射在x= 点，则求得B= ，C= / ，代入式(6.2.6)和(6.2.7)，则有: 轨迹曲线(6.2.8)也可改写为: (6.2.9) (6.2.8) (6.2.10) 由此可知，通常情况下子午光线的轨迹是 一个初相位不为零的正弦曲线，入射的斜率 越大，振幅r越大；而特性常数A越大，振幅r越小。所以，当一般非平行于z入射时，为了使光线在轴线附近进行，应使A值大一些，也就是要使聚焦纤维透镜的折射率变化快一些。 把式(6.2.8)和(6.2.9)表示为矩阵形式: (6.2.11) 聚焦纤维透镜的光线矩阵：此式表明给出了光线的初始条件，位置 和斜率 ，我们就可确定光线在聚焦透镜中的传播情形。 下面对两种入射情形作具体讨论: (1)光线斜入射在聚焦纤维透镜轴上的情形。 在子午平面内，设入射光线和聚焦纤维轴成 角入射，进入透镜后与轴成 角，则有 ，这时光线轨迹方程为: 可知这时光线在聚焦纤维透镜中的轨迹是初位相为零的正弦曲线， 如图6.2.2所示 (6.2.13) (6.2.12) 图6.2.2 斜入射于轴上时光线的轨迹 曲线振幅为: 周期为: 聚焦纤维端面最大孔径角可以用过轴的光线来讨论。 聚焦纤维的数值孔径：聚焦纤维端面所处的媒质的折射率n的最大接收角正弦的乘积，即: (6.2.14) 在聚焦纤维中光线轨迹的最大振幅：等于纤维的半径即 ，故有: (6.2.15) (6.2.16) (6.2.17) 所以可得: 若 ，则近似有: (6.2.19) (6.2.18) 假定聚焦纤维边缘折射率为 ，则: 这样有： (6.2.20) (6.2.21) 特性常数A：知道了聚焦纤维半径 和折射率的最大差值△n值及中心折射率 就能计算。显然在折射率差值相等的条件下，纤维直径越小，A值就越大。由于 (6.2.22) 得: (6.2.23) (6.2.24) 所以由式(6.2.15)，有: 如果介质为空气，则 =1，且△n1时，可近似有最大接收角: 周期长度为: (6.2.26) (6.2.25) 但是，需要指出的是聚焦纤维的数值孔径是随着入射光线的入射位置不同而变化的，也就是说入射在轴上时孔径角最大，入射点离光轴越远，孔径角变得越小，在透镜边缘处为零。考虑到一般情况，数值孔径可表示为: (6.2.27) 当 =0，r=0时，数值孔径最大。 D=r/r0 光线入射面与相对轴上子午面的角度 (2)光线平行于聚焦纤维轴入射的情况。 设光线平行于轴入射在x0点，显然初始斜率p0=0，这时光线的轨迹方程: 从方程可知，这时光线在聚焦纤维中的轨迹是余弦曲线，其振幅为初始入射位置 ，如图6.2.3所示。如果要得到平行光线出射，则应有: (6.2.29) (6.2.28) 图6.2.3 平行入射时光线在聚焦纤维中的轨迹 (6.2.30) (6.2.31) 所以 显然n应取正整数。可知当聚焦纤维的长度等于其半周期长的整数倍时入射平行光线出射时仍为平行光线。从图6.2.4可以看出，当聚焦纤维的长度等于其1/4周期长度的奇数倍时，入射光线若平行于轴，则出射光线将在聚焦纤维出射端的轴心处会聚。反之，若点光源置于1/4周期长度的聚焦纤维端面轴心处，则出射光线为平行光线。