定积分的应用定积分的微元法教学目的理解和掌握用.doc

第六章 定积分的应用 第一节 定积分的微元法 教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一 再论曲边梯形面积计算 设在区间上连续，，为曲边，的曲边梯形的面积。1、 2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形， 3、， 4、取极限， 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： ()、若将分成部分区间，相应地分成部分量， 这表明：对于区间具有可加性。 ()、用近似，的高阶无穷小。 ，的极限方才是精确值。 ， 是关键。 1、能用定积分计算的量， (1)、与变量的变化区间有关； (2)对于区间具有可加性； (3)部分量可近似地表示成。 2的定积分表达式步骤 (1)、根据问题，为积分变量，； (2)分成若干小区间，， 的近似值 ( 为上一连续函数) 则称为量的元素，。 (3)的元素作被积表达式，为积分区间， 这个方法叫做元素法，的元素的微分表达式 因此，。 （注意微元法的本质） 第二节 平面图形的面积 教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算 教学难点：面积元素的选取 教学内容： 一、直角坐标的情形 由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。 其中：。 与 及直线 ，( )所围成的图形面积。 其中：。 2 选取为积分变量， 3、 在上， 上， 4、 体积 一、旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，。 直线，轴所围成的曲边梯形，轴旋转一周而生成的立体的体积。 为积分变量，，上的任一区间，轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，。： 所求的旋转体的体积为 二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 ) 由旋转体体积的计算过程可以发现： ，。 轴， ，轴的两个平面之内， 表示过点且垂直于轴的截面面积。 为积分变量，。上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，的扁圆柱体的体积。 ： 于是， 小结 旋转体体积 平行截面已知的立体的体积 功、水压力和引力 一、变力沿直线所作的功 【例1】半径为的球沉入水中，， 1 ，，? 解： 将高为的球缺取出水面，为： ：，，。 取为积分变量， ， 在 上任取一个小区间，， 由于球的比重为 1 ， 将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功， 。 小结 利用定积分“微元法”思想求几何和物理方面的问题 8