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探究解几中的光程问题 靖江市第一高级中学 郭继强 牛顿 笛卡尔 “杰尼西亚的耳朵” 据传说，在意大利西西里岛上有一个山洞，很久以前，叙拉古的暴君杰尼西亚把他的一些囚犯关在一个山洞里．囚犯们多次密谋逃跑，但是每次的计划都会被杰尼西亚发现. 起初，囚犯们怀疑自己的同伴中有内奸．他们彼此指责，互相猜疑，但始终没有发现任何一个囚犯告密．后来, 渐渐觉察到, 囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒的耳朵里去了．囚犯们诅咒这个山洞是“杰尼西亚的耳朵”． “杰尼西亚的耳朵” 从左图可看出, 山洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在一个焦点附近．狱卒在另一个焦点偷听，无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样会被狱卒听得清清楚楚! 光的反射定律 光学知识一：光在同一均匀媒质中遵循光的反射定律的光程最短 证明AO+BO最小 光的反射定律 证明：在直线上任取一点P（不同于入射点O） AO=AO, PA=PA AO+OB=AB PA+PB=PA+PB 而PA+PBAB（三角形两边之和大于第三边） 所以PA+PBAO+OB 小试牛刀 探究1 自点A（-3,3）发出的光线 射到x轴上，被x轴反射后射到圆 上，求光线走过的最短距离。 换个问法 自点A（-3,3）发出的光线 射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，求光线 所在直线方程。 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0 圆锥曲线的光学性质 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)． 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 圆锥曲线的光学性质 思考与交流 探究2 （1）已知椭圆方程 是左右两个焦点，P（1,1）是椭圆内部一点，试在椭圆上画出一点M，使|F1M|+|PM|最小，有最大值吗？会证明吗？ 思考与交流 思考与交流 （2）已知双曲线 M为其右支上一动点，F为其右焦点，点 A（3,1），试在双曲线上画出一点M,使|MA|+|MF|最小。有最大值吗？ 思考与交流 思考与交流 （3）已知抛物线方程为 ， F是焦点，A（3，-1）是定点，试在抛物线上画出一点M，使|MA|+|MF|最小，有最大值吗？ y 思考与交流 光的折射定律 光学知识二:在两种不同的均匀媒质中，光沿折射定律的途径传播最省时间。 比比谁的方法好 探究3、在距A城市45千米的B地发现金属矿，现知由A到某方向有一直线铁路AX,B到该铁路的距离BB1为27千米，欲运物资于AB之间，拟定在铁路线AX上的某一点C筑一公路到B,已知公路运费（每吨每千米）是铁路运费的2倍，当C点距A点的距离为多少时，总运费最低? 45 27 心得体会 光学知识为我们研究“距离之和” 取值范围问题时开辟了一个新的方向 圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。 我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。 本次课程结束，谢谢参与！ ——你有收获吗？