应用柯西不等式解中学数学题竞赛专题.doc

应用柯西不等式解中学数学题（竞赛专题） 温州中学 谢正康 柯西不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其他一些不等式，有时还较为简捷。 柯西不等式内容是：若…，与…，为两组实数，则 当且仅当时，（A）式取等号。 证明：因为 所以把上列个不等式相加得 因为且，所以关于的二次三项式的判别式△ 即△= 即 现在研究（A）式取等号问题。 若（A）式取等号，则△=0，于是由（2）知方程有二重实根代入（1）得 于是， 所以 这样，就是由若（A）式取等号，推导得（3）成立。 反之，由（3）易于推导出（A）式取等号 说明：应用柯西不等式（A）证题的关键是善于构造两组数： 不等式（A）的左端是这两组数对应项的乘积之和的平方，即，右端是每组中诸数平方和之积。 即 例1：已知， 求证： 证法一：（常用证法） 把上面个不等式相加，得 即 证法二：（利用柯西不等式来证明） 分析求证的不等式特点，可构造如下两组数： 由柯西不等式（A）有 两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷 例2：设是一串互不相同的正整数，证明对一切自然数，都有 分析：上不等式可写为 构造如下两组数： ； 由柯西不等式（A），有 即 与原不等式比较，须证 就行了 怎样证明上一不等式呢？ 因为是不相同的正整数，不失一般性，故可设，是从小到大排列的正整数，于是有 把上个不等式相加，有 请读者根据上面的分析写出证明 例3：设△ABC为任意三角形，求证： 分析：从所要证明的不等式出发，构造如下两组数： ，1，1，1 由柯西不等式（A），有 即 把上面这个不等式与求证的不等式比较，可知如果能推导出，问题就解决了，但是，，所以，这样构造的两组数不能证明求证的不等式成立，因此应修改所构造的两组数如下： ； 由柯西不等式（A），有 即. 把上面不等式与求证不等式比较，可知要证原不等式成立，须证 上面这个不等式，可证明如下： 由已知 这样，本题即可证明了. 根据上面的分析，写出证明如下： 先构造如下两组数 由柯西不等式（A）有 即 由已知 于是，有1, . 例4：设 其中是实数，是任意给定的自然数且， 如果当时有意义,求的取值范围 如果证明 当时成立.(1990年全国普通高等学校招生统一考试第26题) 此题第二步骤用柯西不等式证明较为简捷. 证明：构造两组数， 当 时，有 由柯西不等式（A）有 当 时， 因. 于是由柯西不等式得 故当 都有 1 1