数学建模培训－微分方程模型.ppt

二. 利用平衡与增长式 例2 简单人口增长模型 对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响. 在很短的时间段Δt 内，关于N(t)变化的一个 最简单的模型是： {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} {Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 般化 更一 基本模型 三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况. 例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间. 2米 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 ．整个放水过程无能 量损失。 分析： 放空容器 ？ 容器内水的体积为零 容器内水的高度为零 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的 流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时 间t 的变化率”，即 S—孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) —水面高度（单位：厘米） t—时间（单位：秒） 当S=1平方厘米，有 h(t) h+Δh r1 r2 水位降低 体积变化 在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh0), 容器中水的体积的改变量为 令Δt 0, 得 dV=－πr2 dh， （2） 比较(1)、(2)两式得微分方程如下： 积分后整理得 0≤h≤100 令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分. 另一个例子 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例(独家广告模型)广告是调整商品销 售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？ 分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大, 当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值； *2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售 速度的增高而降低； *3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 建模 记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度. 直接建立微分方程 称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力. 模型分析：是否与前三条假设相符？ 改写模型 假设1* 市场“余额” 假设2* 销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制. 2、复杂的数学模型 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 人口增长模型 常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数，即单位 时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 根据假设，在 到 时间段内，人口的增长量为 模型检验 据估计1961年地球上人口总数为，在以后7年中， 人口总数以每年 的数度增长，这样 也就是说到2670年，地球上将有36000亿人口，非常荒谬。 这个公式非常