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池州学院数学与计算机科学系 陈精兵 交通管理中的黄灯问题 ——二阶常微分方程 的应用 一、问题引入 在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则. 假如你停不住，这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？才能让过了街口的车都能过去？ 二、问题分析 在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住. 驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口.如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车. 也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大.当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口. 大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）.对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口. 根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下： 第1步. 根据该街道的法定速度 求出停车线位 置（即停车线到街口的距离）； 第2步. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久. 三、停车线的确定 要确定停车线位置应当考虑到两点： （1）驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车. （2）驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离. 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间） 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）.例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）. 停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下.设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f， 为刹车后在t时刻内行驶的距离，根据刹车规律，可假设刹车制动力为 fmg（g为重力加速度）.由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程. (1) 在方程(1)两边同除以m并积分一次，并注意 到当 时， 得到 (2) 刹车时间 可这样求得，当 时， ,故 将（2）再积分一次，得 ， 将 代入，即可求得刹车距离为 . 据此可知，停车线到路口的距离应为： ， 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离. 据此可知，停车线到路口的距离应为： ， 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离 . 四、黄灯时间的计算 现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了.在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口.记街道的宽度为D（很容易测得），平均车身长度为 ，这些车辆应通过的路程最长可达到 ，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为： . 谢谢大家！ * *