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第五章 树与二叉树 数据结构电子教案 第五章 树与二叉树 树和森林的概念 二叉树 二叉树遍历 二叉树的计数 树与森林 堆 Huffman树 树和森林的概念 有根树： 一棵有根树 T，简称为树，它是n (n≥0) 个结点的有限集合。当n = 0时，T 称为空树；否则，T 是非空树，记作 r 是一个特定的称为根(root)的结点，它只有直接后继，但没有直接前驱； 根以外的其他结点划分为 m (m ? 0) 个互不相交的有限集合T1, T2, …, Tm，每个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可以有0个或多个直接后继。 树的基本术语 子女：若结点的子树非空，结点子树的根即为该结点的子女。 双亲：若结点有子女，该结点是子女的双亲。 兄弟：同一结点的子女互称为兄弟。 度：结点的子女个数即为该结点的度；树中各个结点的度的最大值称为树的度。 分支结点：度不为0的结点即为分支结点，亦称为非终端结点。 叶结点：度为0的结点即为叶结点，亦称为终端结点。 祖先：某结点到根结点的路径上的各个结点都是该结点的祖先。 子孙：某结点的所有下属结点，都是该结点的子孙。 结点的层次：规定根结点在第一层，其子女结点的层次等于它的层次加一。以下类推。 深度：结点的深度即为结点的层次；离根最远结点的层次即为树的深度。 有序树：树中结点的各棵子树 T0, T1, …是有次序的，即为有序树。 无序树：树中结点的各棵子树之间的次序是不重要的，可以互相交换位置。 森林：森林是m（m≥0）棵树的集合。 二叉树 (Binary Tree) 二叉树的定义 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。 二叉树的性质 性质1 若二叉树结点的层次从 1 开始, 则在二叉树的第 i 层最多有 2i-1 个结点。( i≥1) [证明用数学归纳法] 性质2 深度为 k 的二叉树最少有 k 个结点，最多有 2k-1个结点。( k≥1 ) 因为每一层最少要有1个结点，因此，最少结点数为 k。最多结点个数借助性质1：用求等比级数前k项和的公式 20 +21 +22 + …+2k-1 = 2k-1 性质3 对任何一棵二叉树，如果其叶结点有 n0 个, 度为 2 的非叶结点有 n2 个, 则有 n0＝n2＋1 若设度为 1 的结点有 n1 个，总结点数为n， 总边数为e，则根据二叉树的定义， n = n0+n1+n2 e = 2n2+n1 = n-1 因此，有 2n2+n1 = n0+n1+n2-1 n2 = n0-1 n0 = n2+1 定义1 满二叉树 (Full Binary Tree) 定义2 完全二叉树 (Complete Binary Tree) ─ 若设二叉树的深度为 k，则共有 k 层。除第 k 层外，其它各层 (1～k-1) 的结点数都达到最大个数，第k层从右向左连续缺若干结点，这就是完全二叉树。 性质4 具有 n (n≥0) 个结点的完全二叉树的深度为 ?log2(n+1)? 设完全二叉树的深度为k，则有 2k-1-1 n ≤ 2k-1 变形 2k-1 n+1≤2k 取对数 k-1 log2(n+1) ≤k 有 ?log2(n+1)? = k 性质5 如将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号1, 2, …, n，则有以下关系： 若i = 1, 则 i 无双亲 若i 1, 则 i 的双亲为?i／2? 若2*i = n, 则 i 的左子女为 2*i， 若2*i+1 = n, 则 i 的右子女为2*i+1 若 i 为奇数, 且i != 1, 则其左兄弟为i-1 若 i 为偶数, 且i != n, 则其右兄弟为i+1 二叉树的链表表示（二叉链表） 二叉树结点定义：每个结点有3个数据成员，data域存储结点数据，leftChild和rightChild分别存放指向左子女和右子女的指针。 二叉树的链表表示（三叉链表） 每个结点增加一个指向双亲的指针parent，使得查找双亲也很方便。 二叉树遍历 二叉树的遍历就是按某种次序访问树中的结点，要求每个结点访问一次且仅访问一次。 设访问根结点记作 V 遍历根的左子树记作 L 遍历根的右子树记作 R