FORTRAN数值方法及其在物理学中应用6教学教材.ppt

此方程在迭代过程中，θ的取值范围(0, 90°)，而 项在迭代过程中会出现大于１的情况。 所以应将方程 重新整理为： 取初值θ=30°迭代4步后可得：θ＝46.4° 1 30.000000000000000 2 46.240880181691520 3 46.431649042200080 4 46.431203734034090 加速算法－埃特金(Aitken)法 方程 如图示，由初值 出发： 计算： 连接曲线上两点 ，与 交点为 则有 不断进行下去，归纳有： 靠近 同样： 例10：用埃特金法求方程 的根。 解：将方程改写为： 仍取 ，有 不 一 样 对某些发散过程，埃特金法也适用。 说明 作 业 1． EX6-3:能否用迭代法求下列方程根，如不能，试将方程改写能用迭代法求解的形式，并分别用迭代法和埃特金法求根。 精度要求： 2． 3. 。 取 。其中二氧化 EX6-4: 用迭代法计算二氧化碳气体分子体积 碳气体的状态方程式为 4 10 - = e §6.3 牛顿迭代法 过曲线 作为初始近似值， 上的点 作切线 设方程 (图形如下)。首先在根 的附近取一点 ? 切线方程 以上迭代方法－牛顿法（切线法） 若 切线与 轴的交点为 ? 作为根 的第二次近似值。 上的点 作切线，若 以切线与 轴交点 以 作为根 的第一次近似值，然后又过曲线 ? 仿此不断作下去，得到一般迭代公式： ? 由于牛顿法仍是迭代法，其迭代函数为 牛顿法收敛性分析 为常数, 则牛顿法收敛。 若 在根 的某个邻域内不为零，且 存在， 上节定理可知，若 问题：如何保证牛顿迭代法收敛？ 由 使在 上， 上保持严格单调和凹向不变。 都不变号，即 在 用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法，找到方程的有根区间 (尽量小） 有以下四种情况： 可以看出，用牛顿法求得的序列 均是单调地趋于 故牛顿法是收敛的。 均可作为初始值。 凡满足关系式 ，图(2)，(3)取 例如图(1)，(4)取 结 论 定理 设函数 在 上存在二阶导数，且满足下列条件： (1) (2) 在 上不为零 (3) 在 上不变号 (4) 对 ，有 则牛顿法迭代序列 收敛于方程 在 内的 唯一根 由公式: 上式两端同除以 得： 上， 的符号不易判别，如何选取初值 使用牛顿法，初始值 的选取很重要，若在 问题： 利用一阶泰勒公式及零阶泰勒公式有： 要使牛顿法收敛，误差必须减少，即 ∴只要 满足上式，且 ，就可将 作为牛顿法初值。 与 。 则有近似公式： 若 在 附近相对变化不大，即只要 在 处可计算 的值，但无法计算 1．选初值 （为保证迭代收敛，可用定理或上式选定初值） 4．以 替代 回到2继续，直到 （或 ）为止。 牛顿法编程步骤 否则到4。 3．若 （或 ），迭代终止， 即为根， 计算 。 2．迭代：按公式 ，计算 。 例11：用牛顿迭代法编程求方程 在 附近的一个实根。 解： real*8 x0, x1, f, f1 open(1, file=nt.dat) read (*,*) x0 N=1 10 f=x0**3-2.*x0**2+4.*x0+1 f1=3.*x0**2-4.*x0+4. x1=x0-f/f1 write(*,*) N, x0, x1 write(1,*) N, x0, x1 If(abs(x1-x0). gt. 1e-6) then x0=x1 N=N+1 goto 10 end if end 输出结果： 1 1.000000000000000 -3.333333333333333E-001 2 -3.333333333333333E-001 -2.287581699346405E-001 3 -2.287581699346405E-001 -2.225152446820112E-001 4 -2.225152446820112E-001 -2.224945143483070E-001 5