4-4 更新过程.ppt

随机过程更 新 过 程 典型的马尔可夫过程－更新过程 – 主要内容 更新过程的基本概念 定义、基本参数，参数间的关系 更新过程分析： 给定更新间隔的分布 N(t)的概率分布 更新过程的期望 更新过程的强度 更新过程的速率 典型更新过程-泊松过程 更新间隔呈负指数分布的更新过程 更新过程 设 {N(t), t0} 是一个计数过程 是第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔 服从非负、独立、同分布的随机变量序列 则称 {N(t), t0} 为更新过程 特征：基于更新间隔的随机特征 描述的过程 换灯泡：设灯泡寿命是统计独立同分布的随机量 若每次使用一个灯泡，当灯泡损坏后立刻更换新的 则在时间t内损坏的灯泡数是一个更新过程 定 义 例 更新过程的参数及其关系 ： 第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔 ： 第n次更新时刻 特征函数： Sn 的概率密度函数 是 的 n 次卷积 更新过程的参数及其关系 ： 第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔 ： 第n次更新时刻 N(t)： [0,t)内的更新次数(更新事件数) 更新过程的参数及其关系 ： 第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔 ： 第n次更新时刻 N(t)： [0,t)内的更新次数(更新事件数) 平均更新次数 更新过程的强度 平均更新次数： 令λ(t)表示某时刻发生更新的强度： 即在 [t,t+dt) 里发生更新事件的平均次数 拉氏 变换 ： 更新过程的强度 λ(t)表示某时刻发生更新的强度： 在 [t,t+dt) 里发生更新事件的平均次数 更新方程： 已知 可确定 ，反之亦然 定理 更新过程的极限 有限的时间内的平均更新次数是有限的 当时间t趋于无穷时，更新的次数趋于无穷 由大数定律： 故不等式左右均收敛于 E{x} 于是 即：μ=平均更新间隔； 1/μ=更新过程的速率 推导 计算更新过程 N(t) 的概率分布 设更新过程的更新间隔 xn 是非负整数的随机变量，且 P{xn=i} = p(1-p)i-1，求N(t)的分布 可看成两状态(吸收态)的马尔可夫过程 一次更新等价于进入吸收态（单步吸收概率为p） P{ k时刻计数为n的概率 } = P{k-1时间间隔内，n-1 次被吸收，k-n次未被吸收} 例 解 更新过程强度是常数λ，求其时间间隔的PDF 若更新强度为λ，其对应PDF的拉氏变换为 根据更新方程，若 xn PDF的拉氏变换为 φ(s)： 拉氏逆变换得： 时间间隔为负指数分布 例 (1) 计算更新过程的速率 当电池失效时，立刻更换新的电池。 电池的寿命是在30~60小时均匀分布的随机量 问：在长时间工作情况下，更换电池的速率？ 电池的平均寿命为： 长时间工作的条件下，电池更新的速率是 即：平均每 45 小时更新一次电池。 例 解 （2）计算更新过程的速率 电池失效时，立刻到市场去购买同一型号的电池 获得新电池的时间也是一个均匀分布的随机变量 该时间均匀分布于0到1小时之间 问：长时间工作情况下，更换电池的速率？ 设第 i 次电池的使用时间是 xi，购买电池花费时间 ui 它们都是随机变量，且平均更新间隔为： 电池更新的速率是 例 解 更新过程的速率 顾客以泊松律到达银行，到达率为λ 顾客到达时，若服务员空闲，则开始接受服务 顾客到达时，若服务员正忙，则离去 顾客接受服务的时间是均值为 μG 的随机变量 问：长时间观察，顾客进入银行的比例 将顾客离开银行的事件视为更新事件 比例= λ有效 / = 1 / (1+λ·μG) 例 解 泊松过程 与 更新过程 泊松过程符合更新过程的定义 t时刻发生n次的概率 第n次事件发生时间PDF 第n次事件的发生间隔 发生强度 泊松过程 是 更新时间间隔呈负指数分布的更新过程 泊松过程 是 更新强度为常数的更新过程 典型的马尔可夫过程－更新过程 – 主要内容 更新过程的基本概念 定义、基本参数，参数间的关系 更新过程分析： 给定更新间隔的分布 N(t)的概率分布 更新过程的期望 更新过程的强度 更新过程的速率 典型更新过程-泊松过程 更新间隔呈负指数分布的更新过程