4-1 泊松过程.ppt

随机过程典型随机过程--泊松过程 基本概念 (齐次)泊松过程 (齐次)泊松过程的分布特征 (齐次)泊松过程的统计特征 (齐次)泊松分布的相关问题 非齐次泊松过程 复合泊松过程 主要内容 基本概念 计数过程 独立增量过程 泊松过程的特点 主要内容 在 (0, t) 内出现事件 A 的总数所组成的过程{N(t), t0} 称为 计数过程。 N(t)≥0，N(0)=0 (s,t) 内事件A发生次数表示为： N(t)-N(s) 事件发生的时间是随机的 计数过程 定 义 [0,t) 内发生的事件数 第n次事件的发生时刻 第 n 次事件与前次事件间的间隔 独立增量过程 独立增量过程： 随机过程N(t)在任意不相交的时间间隔内的变化量是相互统计独立的； 独立增量过程具有马尔可夫特性 平稳增量过程（或齐次增量过程）：在时间间隔 (t, t+s) 内的增量[N(t+s)-N(t)] 仅与 s 有关而与 t 无关； 定 义 定 义 泊松过程 若计数过程N(t)满足下列假设： 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0 N(t)为独立增量过程 N(t)为平稳增量过程 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为 λ∆t + o(∆t), 在(t，t+∆t)内出现事件二次以上事件的概率为o(∆t) 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t) 则称该过程为泊松过程 N(t) ≥0,参数 λ 称为跳跃强度 定 义 泊松过程的分布特征 即： 令∆t0： 则： 平稳增量性 独立增量性 微跳跃强度 泊松过程的分布特征 即： 取极限： 则： 数学归纳法： 泊松过程的分布特征、统计特征 分布率 母函数 均值： 二阶矩： 方差： 泊松过程的统计特征 相关函数： 设 t1≤t2，则： 类似地，若t2≤t1 ： 综上有： 相关问题(1)：首次发生时间 S1 的概率问题 P{S1t} = P{N(t) = 0} = e-λt 分布函数 CDF： FS1(t) = P{S1t} = 1 - e-λt 概率密度函数 PDF： fS1(t) = FS1(t) = λe-λt 另一种思路： 相关问题(2) ：第 n 次发生时间 Sn 的PDF 故 Sn(t)的 PDF 为： 相关问题(3) ：各次事件间的时间间隔 Tn Tn = Sn – Sn-1； T1= S1 – 0 故： 各次时间间隔的分布相同，和首次发生时间S1的PDF相同 相关问题(4) ：后验时间分布 在（0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的到达时间 S （S∈[0,t)）的概率分布. 故： 已知一段时间内出现一个事件，事件发生时刻在此时间段内均匀分布 相关问题(4+) ：后验时间分布 （0，t2）内有 n 个事件的条件下，（0，t 1） 内有 k 个事件的概率： 可看成(0,t)内 n 个独立均匀分布的随机变量随机选择区间的结果  在(0,t)内呈二项式分布 相关问题(5) ：两过程比快 独立泊松过程 N1(t)，N2(t)强度分别是λ1 、λ2 求 N1(t) 先于 N2(t) 发生首次事件的概率。 设 x，y 分别是两个过程出现第一次事件的时刻 相关问题(6) ：两过程比快 题设同前。问：在N2(t)第一次发生之前N1(t)发生了 k 次的概率 泊松过程 若计数过程N(t)满足下列假设： 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0 N(t)为独立增量过程 N(t)为平稳增量过程 在(t，t+∆t)内出现一个事件的概率为 λ∆t + o(∆t), 在(t，t+∆t)内出现事件二次以上事件的概率为o(∆t) 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t) 则称该过程为泊松过程 N(t) ≥0,参数 λ 称为跳跃强度 定 义 分布率 母函数 均值： 二阶矩： 方差： 相关函数： 泊松过程的分布特征、统计特征 泊松过程的相关问题 (1)：首次发生时间 S1 的概率密度函数： 　　　　　　　　　　　　　　　　　fS1(t) = λe-λt (2)：第 n 次发生时间 Sn 的概率密度函数： (３)：各次事件间的时间间隔 Tn的概率密度函数： (４)： （0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的 　　　　到达时间 S （S∈[0,t)）的概率密度函数： 泊松过程的相关问题 (1)：首次发生时间 S1 的概率密度函数： 　　　　　　　　　　　　　　　　　fS1(t) = λe-λt (2)：第 n 次发生时间 Sn 的概率密度函数： (３)：各次事件间的时间间隔 Tn的概率密度函数： (４)： （0,t）内有一个事件出现的条件下，该事件的 　　　　到达时间 S （S∈[0,t)）的概率密度函数： 事件时间间隔负指数分布vs泊松分布 泊