Toeplitz矩阵.ppt

Toeplitz矩阵 主要内容 Toeplitz矩阵的定义及其性质 Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解 1 Toeplitz矩阵的定义及其性质 1.1 Toeplitz矩阵的定义 在数学和工程问题中，常常需要求解具有特殊结构的线性方程组 ，其中 我们把这种任何一条对角线取相同元素的矩阵称为  1.2 Toeplitz矩阵的性质 （1） Toeplitz矩阵的线性组合仍然为Toeplitz矩阵 （2）若Toeplitz矩阵A的元素 则A为对称 Toeplitz矩阵 （3）Toeplitz矩阵A的转置 仍为Toeplitz矩阵 （4）Toeplitz矩阵的元素相对于交叉对角线对称 * Toeplitz矩阵。 最常见的Toeplitz矩阵是对称Toeplitz矩阵，即 这种矩阵仅由第一行元素就可完全确定，因此我们常将对称Toeplitz A矩阵简记为 若一个复Toeplitz矩阵的元素满足复共轭对称关系 即 则称之为Hermitian Toeplitz矩阵 特别地，具有特殊结构 的 维Toeplitz矩阵称为斜Hermitian Toeplitz矩阵，而矩阵 称为斜Hermitian型Toeplitz矩阵，显然此矩阵可表示为 。 2 Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解 2.1 经典Levinson递推 考虑前向m阶线性预测 和后项m阶预测 这里， 代表m阶预测器的第i个系数，*表示复共轭 定义前向预测误差 根据正交性原理知 ，代入式（2-1）后，可得到预测方程（Yule-Walker方程） 式中， 是 的自协方差函数，而 是m阶预测误差滤波器的误差输出功率。简写式（2-4），表示如下 在2-5式中取复数共轭，可得后向预测误差滤波器的Yule-Walker方程为 类似地，对于m-1阶前、后向预测误差滤波器，它们的Yule-Walker方程分明别为 令 式中， 是待确定的系数，称为反射系数。上式的共轭形式为 于是，综合式（2-4）~式（2-10），有 比较式2-4和式2-11有 这就是求解Toeplitz线性方程组（2-4）的经典Levinson递推 2.2 Levinson算法 现在考虑实数情况，即 和滤波器的系数 都为实数时的Levinson递推。此时，Levinson递推的乘法运算可以减少一半。这样一种算法称为分基Levinson递推。 1. 矩阵方法 在 为实数的情况下，其自协方差函数 因此， Yule-Walker方程式（2-5）和式（2-6）可分别写作 式中 为对称Toeplitz矩阵，且 令 第一行元素为 ，即 。 线性方程式（2-15）和式（2-16）是同一问题的不同表达形式，它们相加得到 简记为 式中，标量 称为分基残差能量； 称为分基横向预测参数向量，定义为 由于 向量 的第 个元素为 显然， 具有对称性 ，即向量 是对称的向量。 由此可以看出，Yule-Walker方程式 （2-15） 中的参数向量 是非对称向量，而式（2-18）中的参数向量 是对称向量。这一对称性意味着只需要估计向量 中的 个参数，这就是分基的含义。 由式（2-18）的第1行得到 利用 的对称性，式（2-21）的计算量可减少一半的乘法运算： 下面推导分基横向预测参数向量 的递推公式。很明显这种递推须保持更新后的 仍然具有对称性。因此我们会想到下面的递推形式： 这就是分基Levinson递推。将分基Levinson递推公式（3-22）与经典递推（3-12）作比较，我们不难看出二者的明显差别：由于 的对称性，分基递推乘法运算是经典递推的一半。分基Levinson算法的最后