微分几何曲面局部理论 沈玉萍.pptVIP

微 分 几 何 2011.04 -- 06 讲师 沈玉萍 第二章 曲面：局部理论 第一节 参数曲面和第一基本形式 第二节 Gauss映射和第二基本形式 第三节 G-C方程和曲面基本定理 第四节 协变微分，平行移动和测地线 第二章 曲面：局部理论 第二节 Gauss映射和第二基本形式 定义 给定正则参数曲面 ，单位法向量对应的映射 称为曲面 的Gauss映射。 第二章 曲面：局部理论 曲面的很多几何性质体现在其Gauss映射中，例如 平面的切平面不变，Gauss映射为常值函数； 圆柱的切平面沿着母线不变，则Gauss映射将圆柱面映射到球面的一个圆周上； 圆心在原点的球面， Gauss映射就是位置向量的单位化。 第二章 曲面：局部理论 思路：曲面 在点 的形状，可以由曲面 上 经过点 的曲线的曲率来描述。 第二章 曲面：局部理论 定义 在点 由单位切方向 和单位法向量 决定的平面称为曲面在点 由此切方向 确定的法截面。法截面与曲面的交线称为曲面在点 的一条法截线。 假设某条法截线由弧长参数表示 则它在点 的主法向量 为 ，曲率 第二章 曲面：局部理论 命题 对任意切向量 ， 的方向导数 仍然是切向量。由此定义的映射 是一个对称的线性映射，即 我们称 为曲面在点 的形状算子，或者Weingarten映射。 第二章 曲面：局部理论 证明 假设法截线有弧长参数表示 考虑到 是单位向量，满足 所以 成立。 另外 关于向量 自然是线性的。 第二章 曲面：局部理论 利用向量函数的混合偏导来证明当 时 满足: 对于 ，都可以写成 和 的 线性组合，容易验证对称性成立。 ■ 第二章 曲面：局部理论 命题 如果曲面 任意一点 的形状算子 都是零，则 是平面（的一部分）。 证明 由于 那么对于 点附近的任意一个正则参数表示 有 由连通性可以得出 是常向量，即曲面是平面。 ■ 第二章 曲面：局部理论 例1 是半径为 ，中心在原点的的球面，则 在局部参数表示下Gauss映射为 它的形状算子满足 所以它在每点切平面上都是的数量线性变换 。 第二章 曲面：局部理论 对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子 在切平面的局部标架 下的矩阵形式。 但是形状算子的关于内积的对称性诱导我们定义 曲面的第二基本形式 特别的对于 第二章 曲面：局部理论 在 点邻域上的有正则参数表示 ， 有自然的基底 ，我们定义曲面的 第二类基本量 第二章 曲面：局部理论 曲面的第二基本形式局部参数表示下有对称矩阵 形式 类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形 式的二次微分形式 第二章 曲面：局部理论 如果 是单位正交标架，则矩阵 就是 形状算子 。但是一般情形下， 有矩阵表示 作为实对称矩阵， 可以对角化，它有两个实特征值，记为 和 。 第二章 曲面：局部理论 定义 曲面 在点 处的形状算子 的特征值称为曲面在此点的主曲率；对应的特征方向称为主方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是主方向，那么这条曲线称为曲率线。 曲面在任意点 的两个主方向是正交的，于是我们可以选择了切平面 的一个正交基底恰好由主方向向量构成。 第二章 曲面：局部理论 定理（Euler公式）令 为曲面 在点 的单位主方向，分别对应主曲率 和 。假设切向量 ，其中 。 则 证明：略。 第二章 曲面：局部理论 注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都有相同的（非零）曲率； 下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。 第二章 曲面：局部理论 定义 如果曲面 切向量 确定的法截线点 处的曲率为零 ，即 我们称 为 在点 的一个渐近方向。