EXamp;ANS_C3泊松过程.doc

练习三：泊松过程 随机过程练习题 1．设和是分别具有参数和的相互独立的泊松过程，证明 （1）是具有参数的泊松过程； （2）不是泊松过程。 2．设电话总机在内接到电话呼叫数是具有强度（每分钟）为的泊松过程，求（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。 3．设是具有参数的泊松过程，假定是相邻事件的时间间隔，证明 （即“泊松过程无记忆”性）。 4．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为，，，且均为泊松过程，它们相互独立。若把这些汽车合并成单个输出过程（假定无长度、无延时），求（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔概率密度；（2）汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。 5．设是具有参数的泊松过程，证明（1）；（2）。 6．设和设分别是具有参数和的相互独立的泊松过程，令 和是的两个相继泊松型事件出现的时间，且。对于，有和，定义，求的概率分布。 7．设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为，且与其它顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客数，证明是强度为的泊松过程。 8．某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达最高峰20人/时。从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少？ 9．设脉冲到达计数器的规律是到达率为的泊松过程，记录每个脉冲的概率为，记录不同脉冲的概率是相互独立的。令表示已被记录的脉冲数。 （1）求；（2）是否为泊松过程。 10．设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为，一户三人的概率为，一户二人的概率为，一户一人的概率为，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。 答案 1．证明：（1） ，即是具有参数的泊松过程。 （2），， 故不是泊松过程。 2．（1） （2） 3．证明：是相邻事件的时间间隔， 故。 4．（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔，故其概率密度函数为 （2）据题意，汽车合并成单个输出过程是参数为的泊松过程，故汽车之间的不同到达时刻的间隔服从指数分布，即其概率密度函数为 5．， 6． 7．证明：设表示到达商店的顾客数，即为强度为的泊松过程；表示第个顾客购物与否，则，且独立同分布，且与独立。因而是一复合泊松过程。又，而 ，即是强度为的泊松过程。 8．，10 9．是为泊松过程， 10．