201111271657255390《椭圆》_通法_特法_妙法.doc

《椭圆》 通法 特法 妙法 （1）解析法——解析几何存在的理由 解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式. 【例4】点P（x，y）在椭圆上，则的最大值为 （ ） A.1 B.-1 C. D. 【解析】设 方程（1）表示过椭圆上一点P（x，y） 和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时， 最大.将方程（1）代入椭圆方程得： 由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由 .∵k0，∴取，选D. 【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. （2）导数法——把方程与函数链接 由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种. 【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：. 【证明一】（解析法）设所求切线方程为：，代入椭圆方程： .化简得： ∵直线与椭圆相切，∴方程（1）有相等二实根.其判别式△=0，即： . 化简得： ∵点在椭圆上，∴，方程（2）之判别式 . 故方程（2）亦有相等二实根，且其根为： .则切线方程为： .再化简即得：. 【证明二】（导数法）对方程两边取导数： .则切线方程为： .再化简即得：. 【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知 （2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的. （3）几何法——为解析法寻根朔源 减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识. 【例6】（07.湖南文科.9题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解析】如图有，设右准线交x轴于H， ∵ ，选D. 【例7】已知椭圆和圆 总有公共点，则实数的取值范围是 （ ） 【解析】如右图椭圆的中心在原点， 且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆 的圆心为C（a，0）且半径R=1. 显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆 右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a∈，选C. 在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算. （4）转移法——将生疏向熟知化归 做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现. 【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程 【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上， 是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是 被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标 转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用 例5的结论. 【解析】椭圆的半焦距，离心率 .又椭圆的焦点在y轴上，故其 方程为：. 设点P的坐标为那么 过点P的椭圆切线方程为： 在方程（2）中，令y=0，得. 设点M的坐标为.由OM=OA+OB( ，代入（1）：. ∵，∴所求点M的轨迹方程是：. 转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得. （5）三角法——与解析法珠联璧合 三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难. 【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是 【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=，∴半焦距c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为，那么 . 同理；.于是