关于线性代数与空间解析几何课程教学的几点思考培训资料.ppt

关于线性代数与空间解析几何课程教学的几点思考;一、课程的历史沿革与现状;一、课程的历史沿革与现状;二、教学基本要求;二、教学基本要求;二、教学基本要求;（c）增添了带“*”号的条目“了解基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵”; （d）对会求向量组的极大线性无关组及秩提出了要求。 矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部分内容移至向量空间部分。 实二次型部分，增添的内容有两处： (a) 了解合同变换与合同矩阵的概念； (b) 了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型的规范形。 基本要求并不是法典，仅对大学的工科数学教学起指导作用，在一定意义上讲，“要求”可以说是最低要求，基本要求不应订得过高，应具有普适性，时代性与指导性。;三、教学内容的组合; 线性方程组与矩阵→实向量空间→n维向量与向量空间→线性变换（与矩阵） →特征值与特征向量→行列式→实二次型→一些应用 （2） 美国的大学对一、二年级学生不分专业（通才教育）。总的讲，他们用于一、二年级大学生的线性代数教材比我们的要浅，线性方程组的内容中不讲AX=0的解空间与基础解系，但比较注重计算，有的还提供算法，计算程序等。 国内目前也出现少数教材，在内容安排上先介绍一点线性方程组的解法，即： 线性方程组的消元法→矩阵→行列式（含矩阵的秩、逆阵等） →n维向量与方程组的解的结构→特征值与特征向量（相似、对角化) →二次型 （3）;三、教学内容的组合;（2）的内容安排比较适合于一般大学 优点：始终围绕线性代数的核心内容，学习比较自然，例子、算法、应用较多，利于工科专业学生的学习。 不足之处是内容浅了一点，某些部分低于教学基本要求。 （3）的内容安排比较好一些 线性代数中许多概念的引入都与线性方程组有关，如初等变换的背景是线性方程的消元法，因而先介绍一点有关线性方程组的知识有利于矩阵、向量组的相关性、及行列式概念的引入与理解。而矩阵的概念、运算及一些性质在行列式前讲授，可较好地反映出行列式是n阶方阵集合到其所在数域上的映射的本质。 当然上述这些内容都是互相交错的，我中有你，你中有我，很难说清哪一种组合方式最好，可依据情况而定。;四、线性代数的主线与核心;（3）行列式 Cramer法则，用于解特殊的线性方程组及用于研究线性方程组的解的结构。 （4）特征值与特征向量 求属于某一特征值的特征向量。 （5）二次型 用于证明惯性定理。 不一一列举 线性代数的核心在于矩阵的对角化（可理解的广一些，包括上三角化），主要手段：初等变换。 行列式计算，解线性方程组，求矩阵的秩等都是用初等变换将行列式或矩阵化为对角形或上三角形（含阶梯型）。矩阵相似的标准形，实对称阵正交相似或合同于对角阵，化二次型为标准形，二次曲面的主轴化等都离不开“对角化”。;五、讲授中的注意事项; 上述性质称为行列式的“交错”性。 若再定义 ，那么行列式上述三个性质与此定义就等价于我们教材中的一般的行列式定义。 对行列式的行（列）作“消法变换不改变行列式”及“依行（列）展开”都是前三个性质的推论。不过这两个性质在行列式计算中最常使用。 作为教师应了解行列式定义与其性质间的本质关系。 行列式计算 行列式计算技巧性较强，可以归纳出很多方法，如简化、变形、降阶、递归、公式法、辅助函数法等，但核心是运用行列式的性质将行列式向上（下）三角形行列式转化。对于非数学专业的学生，不必追求技巧性较高的行列式的计算，掌握一般的行列式计算方法即可。 ;2、矩阵 矩阵的运算 矩阵运算的难点在矩阵乘法，应加大练习使学生熟练掌握乘法运算律。另外，矩阵乘法不满足交换律，即AB未必等于BA。消去律一般不成立，即AB=AC,未必有B=C。 可逆矩阵 定义可逆矩阵时，不能只要求 而不要求 因矩阵乘法不满足交换律，但判断方阵A是否可逆时，只要有方阵B使得 即可，但这应在证明了可逆矩阵的唯一性即可逆阵的行列式不为0之后方可这样做。 方阵AB≠BA，但可有 矩阵的等价 若m×n矩阵A可经有限次初等变换化为B，则称B与A等价。每一m×n矩阵A等价于