南航戴华《矩阵论》第七章_矩阵函数与矩阵值函数讲解材料.ppt

定义7.3.2 设 A是 n 阶矩阵，如果 A的特征值都有负实 部，则称 A为稳定矩阵。 定理7.3.3 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 7.1 矩阵函数 7.2 矩阵值函数 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 7.4* 特征对的灵敏度分析 7.1 矩阵函数 7.1.1 矩阵函数的幂级数表示 7.1.2 矩阵函数的另一种定义 7.1.1 矩阵函数的幂级数表示 定义7.1.1 定理7.1.1 推论 7.1.1 定理7.1.2 7.1.2 矩阵函数的另一种定义 设矩阵A的最小多项式为 定理7.1.4 定理7.1.5 定理7.1.6 其中 且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan标准形 J 中Jordan块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关。 定理7.1.7 定理7.1.8 7.2 矩阵值函数 7.2.1 矩阵值函数 7.2.2 矩阵值函数的分析运算 7.2.1 矩阵值函数 定义7.2.1 称为定义在(a,b)上的矩阵值函数。 特别地，当n = 1时，得到向量值函数。通常用 等形式表示。 定义7.2.2 区间(a,b)上 m×n 矩阵值函数 A(x)不恒等于 零的子式的最高阶数称为A(x)的秩，记为rank (A(x) )。 特别地，如果A(x)是区间(a,b)上 n 阶矩阵值函数，并 且rank( A(x) ) = n，则称A(x)为满秩的。 定义7.2.3 则称 A(x)在(a,b)上可逆，并称 B(x)为 A(x)的逆矩阵， 记为A-1(x) 。 定理7.2.1 n 阶矩阵值函数 A(x)在区间(a,b)上可逆的 充分必要条件是| A(x)|在(a,b)上处处不为零，并且 其中 是 A(x)的伴随矩阵值函数， Aij(x)是A(x)中元素aij (x)的 代数余子式。 7.2.2 矩阵值函数的分析运算 定义7.2.4 定义7.2.5 矩阵值函数的导数运算具有下列性质： 因为矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数 m1和可导的 n 阶矩阵值函数 A(x) 定理7.2.2 如果 n 阶矩阵值函数 A(x)在(a,b)上可逆且 可导，则 定义7.2.6 为 A(x)在[a,b]上的积分。 矩阵值函数的积分具有如下性质： (3) 对常数矩阵 A和C，有 (4) 如果矩阵值函数 A(x)在[a,b]上连续，则 (5) 如果矩阵值函数 A’(x)在[a,b]上连续，则 定义7.2.7 矩阵值函数的导数具有如下性质： 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 一阶线性微分方程组 其中 方程组(7.3.1)的初始条件 可以表示成 定理7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组 定义7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，如果对任意的 t0和 x0， 初值问题 定理7.3.2 对任意的 t0和 x0，初值问题(7.3.8)的解 x(t) 渐 近稳定的充分必要条件是矩阵 A的特征值都有负实部。