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第三讲 单变量分析 中心趋势测量 （平均数、中位数） 离散程度测量 （方差、标准差） 引言 频数分布和绘图是数据分析最基本但很有用的方法。对某个变量的总体情况进行了解，不能准确刻画变量的特征，因此，需要计算一些指标来反映变量的特征。 这些指标包括测量变量值的平均水平和变量分布的离散程度 中心趋势测量 对于某一变量，其值的平均水平或代表性值 常用的有两个指标：中位数（Median）和平均数（Mean） 中位数 把一个变量的值由小到大或由大到小排列起来，处于中心的那个值就是中位数。即中位数将变量的分布分成前后相等的两部分，其中一半的值低于中位数，另一半的值高于中位数。 中位数适用于序次变量和间距变量 中位数 计算方法：取决于案例数是奇数还是偶数 – 奇数时：就是中心的那个数 – 偶数时：是中心两个数的平均值 计算中位数 将所有案例按照值的大小从小到大排列起来。如果案例数为n，那么中位数值就在这个变量分布的(n+1)/2处。 例如 案例数n=11，是奇数，那么，中位数就在 (11+1)/2=6即第6个数，就是41。 案例数n=10，是偶数，那么，中位数就在 (10+1)/2=5.5即第5和第6个数之间，就是第5和第6个数的平均数。第5和第6个数都是39，所以平均数还是39。 年龄中位数的计算公式： 年龄中位数 l =中位数所在组的年龄下限 N =总人数 F =中位数所在组之前的所有组人数的累计 f =中位数所在组的人数 i =年龄组组距 职工收入中位数 即一半人收入低于900元，另一半人收入高于900元。 平均数 简单算术平均数是使用最广泛的平均数。其计算方法就是把所有案例的该变量值都加起来，然后除以案例数。 平均数只适用于间距变量。 简单算术平均数是使用最广泛的平均数。其计算方法就是把所有案例的该变量值都加起来，然后除以案例数。 如果有 n 个案例，其某个变量值分别为： 那么 或者 平均年龄 平均数：三个数学性质 只有间距变量（连续变量）才能计算 变量分布的重心：将一个变量的所有值都减去平均值，然后把这些差加起来，必定等于0 敏感性：因为计算平均数时，用到了所有的变量值，因此，每个变量值都对平均值产生影响，对奇异值（特别大或特别小的值）比较敏感 奇异值会影响平均数，但不会影响中位数。 比较平均数和中位数的变化 4 8 12 平均数=(4+8+12)/3=8 中位数=8 离散程度测量 所有案例在某个变量上其值的分布情况，是比较集中，还是比较分散 有三个指标：全距（Range）、方差（Variance）和标准差（Standard Deviation） 为什么要测量离散程度？ 两个相同平均数的变量，它们的离散程度可能有很大不同。为了更准确反映变量的分布特征，除了平均数以外，还需要计算离散程度。 平均水平的指标和离散程度的指标一般同时使用。 相同的平均数，不同的离散程度 全距 最简单的度量离散程度的指标是全距，即最大值与最小值的差。全距也称极差。 全距是度量离散程度极为粗糙的指标，因为它的计算只涉及整个变量分布的最大值和最小值。它很可能会是一个误导性的指标。 年龄全距=59-17=42岁 收入全距=18692-66=18626元 标准差 平均数测量中心趋势，标准差测量离散程度 标准差测量的是各个观测值和平均值的平均距离有多远 平均离差（Mean Deviation） 将所有观测值减去平均值，就得到每个观测值离平均值的距离，我们叫离差；将每个观测值的离差加起来就得到总离差，然后除以观测值个数，就得到平均离差，即平均距离。 但是这样的结果是，这些离差有正有负，正负刚好抵消，加起来的结果就是0，得不到总离差： 方差 刚才的思路是可以的，但是统计学家不这么做。统计学家没有用取绝对值，而是计算每个离差的平方，平方以后也就没有负数了。将这些离差的平方加起来得到离差平方和： 离差平方的平均值就是方差（variance）。用公式表示就是： 由于离差平方和与离差和在量上不对等，前者会大于后者，无法反映平均离差，因此我们计算方差的正平方根，这就是标准差（standard deviation） 标准差 计算标准差 然后计算离差 离差平方和除以观测值个数减1，就是方差： 标准差就是方差的平方根： 标准差 标准差用来测量变量围绕平均值的分布情况、离散程度 标准差= 0，表明变量的分布不存在任何离散。这种情况发生在所有观测值都相同时。 否则 s o。当观测值的分布越分散，s就越大。 标准差的单位与原变量的单位相同。如果原变量是身高，单位是厘米，那么升高的标准差的单位也是厘米。 标准差和平均数类似，