第二章向量空间.ppt

第二章 n 维向量 2.1 向量组的线性相关性 2.1.1 线性表示 向量组 引例 线性表示、线性组合的定义 例1 2.1.2 线性相关与线性无关的概念 例2 注解 例3 一个重要定理 例4 线性相关与线性无关的一些结论 例5 作业 P61 1(2) 2 3 2.2 向量组秩 2.2.1 等价向量组 例6 2.2.2 向量组的秩 例7 向量组的秩的定义 向量组秩的计算 向量组线性相关的充分必要条件 例８ 例９ 例10 作业P63 1 1)3) * * 2.1 向量组线性相关性 2.2 向量组的秩 2.1.1 线性表示 2.1.2 向量组的线性相关性 有限个向量的向量组与矩阵的关系: — 若干个同维数的列(行)向量之集. 给定向量组 , 对任意一组实数 ，称 为向量组 A 的一个线性组合, 称为组合系数. 则称向量 能由向量组A 线性表示. 例如 ，取 (1)零向量可由任意向量组A 线性表示. 则向量 (2)任何一个n维向量都可由n 维 单位向量线性表示. 注解 给定向量组 若存在不全为 0 的数 则称 向量组 A 线性相关, 否则称它线性无关. 线性相关. 向量组 线性无关. 因为有一组不全为零的数1，1，-1，使得 向量组 因为，方程组 等价于 线性无关. ① 线性相关 齐次线性方程组 有非零解. ② 线性无关 齐次线性方程组 只有零解. ④ 向量组只含一个向量 ③ 中至少有一个向量可由其余向量线性表示. ⑤ 线性相关 对应分量成比例 几何意义: 两向量平行 ⑥ 线性相关的几何意义 三向量共面 已知向量组 线性无关, 线性无关. 即 线性无关, 故 系数行列式 方程组只有零解 因此 线性无关. 证 给定向量组 和 ，若 (1) 向量组B可由向量组A线性表出, (2) t s, 则向量组B必线性相关. 推论 （1）设 向量组B可由向量组A线性表出, 且 向量组B线性无关， （2）两个线性无关的等价向量组，所含向量的 则 t ≤ s. 个数必相等. （3）任意n+1个n维向量必是线性相关的. 证明向量组 证 线性相关. 构造向量组 所以，向量组B线性相关. 计算可得 即，向量组B可由向量组A线性表出， 线性相关 也线性相关. 推论. ① 向量组中有线性相关的部分组, 则 该向量组线性相关. ② 向量组中含零向量， 则必线性相关. 线性无关， 线性相关 必能由组 A 线性表示,且表示式唯一. (2) m 个 n （n m) 维向量组成的向量组必线性相关. (4) 设 线性无关， 那么它们的分量任意添加t个分量后 所得到的向量 其中t为任意正整数. 也线性无关. 设 则向量组 的每个向量分别添加2个分量后， 证 令 =向量组所含 向量的个数 线性无关. 将向量组 得到向量组 由 的线性无关知 ： 向量组 线性无关. 从而，向量组 线性无关. 2.1.1 等价向量组 2.1.2 向量组的秩 向量组的等价：如果向量组A中每一个向量都可 由向量组B线性表出，那么称向量组A可由向量组B 称它们等价. 线性表出. 如果两个向量组相互可以线性表出，则 向量组等价的性质 (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 证明向量组 与 证 等价. 一方面 另一方面 所以，向量组A与向量组B等价. 设 n 维向量组 A 满足: (1) A中部分组 线性无关， 则称 A0 是 A 的最大线性无关组. 命题 (2) A中任意向量都可由向量组 线性表示, 任何一个向量组与它的最大线性无关组等价. 求向量组 的最大线性无关组. 解 显然向量组 线性无关，而且 所以，向量组 是 的最大线性无关组. 同样可证，向量组 与向量组 都是向量组 的最大线性无关组. 向量组的最大线性无关组不惟一！ 求向量组 的最大线性无关组. 由于 而且 由向量组等价的定义知： 与它的最大线性无关组 向量组 等价. 引理 任意两个线性无关的等价向量组所含的向量个数 必相等. 称向量组 A 的最大线性无关组中所含向量的 个数 r为组 A 的秩,记为r (A). 规定: 只含零向量的向量组的秩为 0 . 则r (A) = 2. 定理 矩阵A的秩等于它的列向量组秩， 也等于它的行向量组的秩. 已知 讨论向量组 的线性相关性. 解 ? A, B 的列向量组 (或对应部 分组) 具有相同的线性关系. 已