概率统计教案2[1].4_2.5第八次课.ppt

* 经济数学基础(三) 《概率统计》 邹 洁 * 三、泊松(Poisson)分布 若随机变量 X 的概率分布为 则称 X 服从参数为? 的泊松分布, 定义: 可以证明: 记为 或 某电话交换台每分钟收到的呼唤次数 X 服从参数 ? =2 的泊松分布, 求 (1) 在一分钟内恰有一次呼唤的概率; (2) 在一分钟内呼唤次数不超过 3 的概率.　 (1) (2) 例题与解答 例1: 解: 设某国每对夫妇的子女数 X 服从参数为 ? 的泊松分布, 且知一对夫妇不超过1个孩子的概率为3e -2, 求任选一对夫 妇, 至少有3个孩子的概率. 例题与解答 例2: 解: 又 二项分布就可近似地看成是参数 ? = n p 的泊松分布. 对于二项分布 B(n, p), 二项分布和泊松分布的关系: ( n≥100, p≤0.1), 当n很大, p 很小时 假如生三胞胎的概率为10 -4 , 求在 100000次生育中 至少有4 次生三胞胎的概率. 设 X 表示在100000 次生育中生三胞胎的次数, 则 X～B (100000, 10 -4 ) , 这里 n =100000 较大, p = 10 -4 较小, 所以X 近似服从泊松分布 而 n p =10, (查表) 例题与解答 例3: 解: §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量函数的分布 §2.3 随机变量的数字特征　 §2.4 几种重要的离散型分布 第二章 随机变量的分布和数字特征 §2.5 几种重要的连续型分布　 §2.5 几种重要的连续型分布 一、指数分布 二、正态分布 一、指数分布 定义: 若随机变量 X 的概率密度为 称 X 服从参数为? 的指数分布. 其中 求指数分布的分布函数 F(x): 我们认为一些产品的使用寿命都是服从指数分布的. 当 时, 当 时, 某电子元件的寿命X (年) 服从参数为3的指数分布, 注:电子元件在已使用1.5年之后再使用2年的概率,与它使用2年的 概率是相同的.称这样的随机变量具有“无记忆性”, 这是指数分布 的重要特点. (1) (2) 由题意可知, X ~ 例题与解答 例1: 解: (1) 求该电子元件寿命超过 2 年的概率; (2) 已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用两年的 概率为多少？ 一般: 如果把 X 解释为寿命, 若 X 服从指数分布, 则有: 则上式表明: 如果已知寿命长于 s 年, 则再活 t 年的概率与年龄 s 无关. 因此, 有时又风趣地称 指数分布所描述的寿命是“永远年轻的”. 顾客在某银行窗口等待服务的时间 X (分钟)服从参数 为1/5的指数分布, 若等待时间超过10分钟, 则他就离开,设 他一个月内要来银行5次,以Y 表示一个月内他没有等到服 务而离开窗口的次数, 求 Y 分布律及至少有一次没有等到 服务的概率. ∴Y 的分布律为 从而 Y~ 由题意: 例题与解答 例2: 解: B ( 5, p), 即 二、正态分布 正态分布也叫高斯分布. 其中m , s 为常数, 且 s 0, 则称 X 服从参数为m , s 2 的正态分布, 定义: 1、正态分布的概率密度 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 记为 这时X~ N(0,1), 特别地, 当 m = 0, s = 1时, 可以证明: (要用到泊松积分: ) 称 X 服从标准正态分布, 其概率密度记为j (x), 正态分布的概率密度曲线: 密度曲线 y = f (x) : 呈钟形; 关于直线 x = ? 对称; 最大值为 f (?) 参数 ? 决定了曲线的中心位置而不影响曲线的形状, 参数 ? 决定了曲线的形状而不决定曲线的中心位置: ? 越大, 曲线越平坦; ? 越小,曲线越陡峻. 在 x 轴的上方; 在点 x = ? ?? 处,曲线有拐点; 以 x 轴为水平渐近线. x 0 y -1 1 在x 轴的上方; 标准正态分布的分布函数为: 当 X~ N(0,1) 时, 曲线 关于y 轴对称; 在点 x = ? 1 处曲线有拐点; 最大值为 标准正态分布的概率密度曲线: 以 x 轴为水平渐近线. 因此对同一长度的区间, x 0 y -1 1 若此区间越靠近点 x = 0, 则其 即X 在该区间上取值的概率 所以标准正态分布的分布规律是 “中间多, 两头少”. 越大, 对应的曲边梯形的面积越大, 2、正态分布的期望和方差 奇函数 中的参数 m ,s 2 分别是 X 的期望和方差, 标准差是s ; 即 EX= m , DX= s 2 , 则 EX= 0 , DX= 1