线型代数之相似矩阵.ppt

一 、相似矩阵 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化（重点） 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 三、小结 思考题 思考题解答 §3 相似矩阵 一 、相似矩阵; 二、相似矩阵与相似变换的性质; 三、利用相似变换将方阵对角化.(重点） 相似变换阵。 相似变换 的相似矩阵， 定义 又称A与B相似。 A与B相似 ？ A与B等价。 ? ? 相似与等价的关系: 推论:若n阶方阵A与对角阵 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 简化矩阵的计算 问题： 即如何将方阵 A 对角化 例1 说明 　如果 n 阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似． 推论 　 如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化． 例2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能对角化. 若A 有重特征值,不能马上断言A 能否对角化! A能否对角化？若能对角 例3 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1的意义 证明 于是 一般地, 能保证矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关 但不能保证它们是正交的 例1 解 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 重点 解 例2 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求A的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵 正交相似 相似 等价 A与B ? ? ? 等价 = = = 秩 = = 行列式 ? ? ? 同可逆 = = 特征值 ? ? ? 数乘 k ? ? 乘方 ? ? ? 转置 ? 对称 等价 相似 正交 相似 两个矩阵间的关系