王法辉基于GIS的数量方法与运用Chapter116.pdf

1 第十一第十一章章 线性方程组的求解及其在城市结构模拟中的应线性方程组的求解及其在城市结构模拟中的应用用 第第十一十一章章 线性方程组的求解及其在城市结构模拟中的应线性方程组的求解及其在城市结构模拟中的应用用 219 线性方程组应用很广，如常用的投入产出分析 （Hewings, 1985 ；参见附录 11A 的简 介）。本章 格瑞-劳韦模型(Grain-Lowry model)为例，介绍和讲解线性方程组的求解方法。格 瑞-劳韦模型多用于城市内部用地结构分析，广受城市规划师和城市地理学家的青睐。本章通 过一个假想的城市，探讨城市内部人口和就业分布的相互依存，研究二者的分布又是如何受交 通网络和其他因素的影响。在本章的实例分析中，GIS 的应用涉及基于路网的通行时间计算， 以及相关的数据准备工作。 线性方程组的求解是数字分析 （numerical analysis ）的基本算法，也是许多高级数字分析 方法的基石，比如非线性方程组的求解和矩阵特征值的计算都要用到线性方程组的解法。附录 11B 简要讲解非线性方程组的求解，其中就用到了线性方程组的解法。 11.1 线性方程组求解线性方程组求解 线性方程组求解线性方程组求解 一个n 元线性方程组有n 个未知变量x , x , ... x ，如下所示： 1 2 n a x + a x + ...+ a x = b  11 1 12 2 1n n 1  a x + a x + ...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2    a x + a x + ...+ a x = b  n1 1 n 2 2 nn n n 上述方程组可用矩阵形式表示为： a a L a x b      11 12 1n 1 1      a a L a x b  21 22 2n  2 =  2   M M O M  M   M       a a L a x b n1 n 2 nn n n      220 或简写为： Ax = b (11.1) 如果矩阵A 是对角矩阵，则方程组(11.1)变为：